Question

【題目】如圖，在四棱錐O﹣ABCD中，底面ABCD四邊長為1的菱形，∠ABC=，OA⊥底面ABCD，OA=2，M為OA的中點，N為BC的中點．

（1）證明：直線MN∥平面OCD；

（2）求異面直線AB與MD所成角的大�。�

（3）求點B到平面OCD的距離．

Answer 1

【答案】(1) (2) .(3)

【解析】

試題方法一：（1）取OB中點E，連接ME，NE，證明平面MNE∥平面OCD，方法是兩個平面內(nèi)相交直線互相平行得到，從而的到MN∥平面OCD；

（2）∵CD∥AB，∴∠MDC為異面直線AB與MD所成的角（或其補角）作AP⊥CD于P，連接MP

∵OA⊥平面ABCD，∴CD⊥MP菱形的對角相等得到∠ABC=∠ADC=，

利用菱形邊長等于1得到DP=，而MD利用勾股定理求得等于，在直角三角形中，利用三角函數(shù)定義求出即可．

（3）AB∥平面OCD，∴點A和點B到平面OCD的距離相等，連接OP，過點A作AQ⊥OP于點Q，

∵AP⊥CD，OA⊥CD，∴CD⊥平面OAP，∴AQ⊥CD，

又∵AQ⊥OP，∴AQ⊥平面OCD，線段AQ的長就是點A到平面OCD的距離，求出距離可得．

方法二：（1）分別以AB，AP，AO所在直線為x，y，z軸建立坐標(biāo)系，分別表示出A，B，O，M，N的坐標(biāo)，

求出，，的坐標(biāo)表示．設(shè)平面OCD的法向量為=（x，y，z），則，

解得，∴MN∥平面OCD

（2）設(shè)AB與MD所成的角為θ，表示出和，利用a×b=|a||b|cosα求出叫即可．

（3）設(shè)點B到平面OCD的距離為d，則d為在向量上的投影的絕對值，由

得．所以點B到平面OCD的距離為．

解：方法一（綜合法）

（1）取OB中點E，連接ME，NE

∵ME∥AB，AB∥CD，∴ME∥CD

又∵NE∥OC，∴平面MNE∥平面OCD∴MN∥平面OCD

（2）∵CD∥AB，∴∠MDC為異面直線AB與MD所成的角（或其補角）

作AP⊥CD于P，連接MP

∵OA⊥平面ABCD，∴CD⊥MP

∵，∴，，

∴

所以AB與MD所成角的大小為

（3）∵AB∥平面OCD，

∴點A和點B到平面OCD的距離相等，連接OP，過點A作AQ⊥OP于點Q，

∵AP⊥CD，OA⊥CD，

∴CD⊥平面OAP，∴AQ⊥CD．

又∵AQ⊥OP，∴AQ⊥平面OCD，線段AQ的長就是點A到平面OCD的距離，

∵，，

∴，所以點B到平面OCD的距離為．

方法二（向量法）

作AP⊥CD于點P，如圖，分別以AB，AP，AO所在直線為x，y，z軸建立坐標(biāo)系：

A（0，0，0），B（1，0，0），，，

O（0，0，2），M（0，0，1），

（1），，

設(shè)平面OCD的法向量為n=（x，y，z），則×=0，×=0

即

取，解得

∵×=（，，﹣1）×（0，4，）=0，

∴MN∥平面OCD．

（2）設(shè)AB與MD所成的角為θ，

∵

∴

∴，AB與MD所成角的大小為．

（3）設(shè)點B到平面OCD的距離為d，則d為在向量=（0，4，）上的投影的絕對值，

由，得d==

所以點B到平面OCD的距離為．