Question

 （本小題滿分12分）如圖，在四棱柱中，側(cè)面⊥底面，，底面為直角梯形，其中

，O為中點(diǎn).

（Ⅰ）求證：平面 ；

（Ⅱ）求銳二面角A—C₁D₁—C的余弦值.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）證明：見解析；（Ⅱ）所求銳二面角A—C₁D₁—C的余弦值為。

【解析】(I)證明,即證:四邊形AB₁CO為平行四邊形.

(II) 為的中點(diǎn)，，又側(cè)面⊥底面，故⊥底面，然后建立直角坐標(biāo)系,利用向量法求二面角,先求二面角兩個(gè)面的法向量,然后再求法向量的夾角,根據(jù)法向量的夾角與二面角相等或互補(bǔ)來解.

（Ⅰ）證明：如圖，連接，     …………..1分

則四邊形為正方形，       …………..2分

，且  

故四邊形為平行四邊形，…………..3分

，            …………..4分

又平面，平面   ……..5分

平面                 …………..6分

（Ⅱ）為的中點(diǎn)，，又側(cè)面⊥底面，故⊥底面，…………..7分

以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的坐標(biāo)系，則

，…………..8分

，…………..9分

設(shè)為平面的一個(gè)法向量，由，得，

令，則………..10分

又設(shè)為平面的一個(gè)法向量，由，得，令

，則，………..11分

則，故所求銳二面角A—C₁D₁—C的余弦值為………..12分

注：第2問用幾何法做的酌情給分.