Question

已知雙曲線C:(a＞0,b＞0)的離心率為,右準(zhǔn)線方程為.

(Ⅰ)求雙曲線C的方程;

(Ⅱ)設(shè)直線l是圓O:x²+y²=2上動點P(x₀,y₀)(x₀y₀≠0)處的切線,l與雙曲線C交于不同的兩點A,B,證明∠AOB的大小為定值.

Answer 1

分析：由以及易求第(Ⅰ)問結(jié)論,

第(Ⅱ)問圓x²+y²=2上點P(x₀,y₀)處切線方程為x₀x+y₀y=2,代入橢圓中,利用根與系數(shù)的關(guān)系求解=0即證.

解法一:(Ⅰ)由題意得

解得a=1,.

所以b²=c²-a²=2.

所以雙曲線C的方程為.

(Ⅱ)點P(x₀,y₀)(x₀y₀≠0)在圓x²+y²=2上,

圓在點P(x₀,y₀)處的切線l的方程為,

化簡得x₀x+y₀y=2.

由及x₀²+y₀²=2,得(3x₀²-4)x²-4x₀x+8-2x₀²=0.

因為切線l與雙曲線C交于不同的兩點A,B且0＜x₀²＜2,

所以3x₀²-4≠0,且Δ=16x₀²-4(3x₀²-4)(8-2x₀²)＞0.

設(shè)A,B兩點的坐標(biāo)分別為(x₁,y₁),(x₂,y₂),

則,.

因為,

且=x₁x₂+y₁y₂=

=

=

=,

所以∠AOB的大小為90°.

解法二:(Ⅰ)同解法一.

(Ⅱ)點P(x₀,y₀)(x₀y₀≠0)在圓x²+y²=2上,

圓在點P(x₀,y₀)處的切線l的方程為

,

化簡得x₀x+y₀y=2.

由及x₀²+y₀²=2,得

(3x₀²-4)x²-4x₀x+8-2x₀²=0,①

(3x₀²-4)y²+8y₀y-8+2x₀²=0.②

因為切線l與雙曲線C交于不同的兩點A，B,所以3x₀²-4≠0.

設(shè)A，B兩點的坐標(biāo)分別為(x₁,y₁),(x₂,y₂),

則,.所以=x₁x₂+y₁y₂=0.

所以∠AOB的大小為90°.

(因為x₀²+y₀²=2且x₀y₀≠0,所以0＜x₀²＜2,0＜y₀²＜2,從而當(dāng)3x₀²-4≠0時,方程①與方程②的判別式均大于0)