Question

已知函數(shù)y=f（x）對任意的實數(shù)x₁，x₂，都有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂），且當x＞0時，f（x）＜0
（1）求f（0）； 
（2）判斷函數(shù)y=f（x）的單調性，并給出證明．
（3）如果f（x）+f（2-3x）＜0，求x的取值范圍．

Answer 1

（1）解令x₂=0，由f（x₁+0）=f（x₁）+f（0）
即：f（x₁）=f（x₁）+f（0），解之得f（0）=0---------------（3分）
（2）函數(shù)y=f（x）在區(qū)間 （-∞，+∞）是減函數(shù)
證明：設x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂
則f（x₂）-f（x₁）=f[x₁+（x₂-x₁）]-f（x₁）=f（x₁）+f（x₂-x₁）-f（x₁）=f（x₂-x₁），
∵x₁＜x₂，得x₂-x₁＞0．
∴由當x＞0時f（x）＜0，得f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁）＜0
可得f（x₁）＞f（x₂）
∴函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（-∞，+∞）是減函數(shù)---------------（9分）
（3）∵f（0）=0且f（x）+f（2-3x）=f[x+（2-3x）]=f（2-2x），
∴不等式f（x）+f（2-3x）＜0轉化為f（2-2x）＜f（0），
又∵f（x）在區(qū)間（-∞，+∞）是減函數(shù)
∴2-2x＞0，解之得x＜1，即x的取值范圍為（-∞，1）---------------（12分）