Question

15．已知f（x）=2mx²-2（4-m）x+1，g（x）=mx，若同時滿足：
①命題“存在x∈R，f（x）≤0且g（x）≤0”的否定為真命題；
②命題“任意x∈（-∞，-4），f（x）g（x）≥0”的否定為真命題．
求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 ①命題“存在x∈R，f（x）≤0且g（x）≤0”的否定為真命題，即①“?x∈R，f（x）＞0或g（x）＞0”為真命題；②命題“任意x∈（-∞，-4），f（x）g（x）≥0”的否定為真命題，即②?x∈（-∞，-4），f（x）g（x）＜0”為真命題．
對m分類討論：當m=0時，f（x）=1-8x，g（x）=0，即可判斷出是否滿足條件①②；
當m＜0時，g（x）＞0不恒成立，由①可知：必須f（x）＞0恒成立，但是不成立．
當m＞0時，要滿足①：（i）若f（x）＞0，即△＜0，解得m．當x＜-4時，g（x）＜0，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可判斷出是否滿足②．
（ii）若g（x）＞0，則x＞0．又f（0）＞0，因此必須x＜0時，f（x）＞0恒成立．

解答 解：①命題“存在x∈R，f（x）≤0且g（x）≤0”的否定為真命題，即①“?x∈R，f（x）＞0或g（x）＞0”為真命題；
②命題“任意x∈（-∞，-4），f（x）g（x）≥0”的否定為真命題，即②?x∈（-∞，-4），f（x）g（x）＜0”為真命題．
當m=0時，f（x）=1-8x，g（x）=0，不滿足①②舍去；
當m＜0時，g（x）＞0不恒成立，由①可知：必須f（x）＞0恒成立，但是f（x）的圖象開口向下，故不成立．
當m＞0時，要滿足①：（i）若f（x）＞0，即△=4（4-m）²-8m＜0，解得2＜m＜8．
當x＜-4時，g（x）＜0，由f（x）的對稱軸x=$\frac{4-m}{2m}$=$\frac{2}{m}$-$\frac{1}{2}$＞$-\frac{1}{2}$，則（-∞，-4）為f（x）的減區(qū)間，f（-4）=33+24m＞0，即②成立．
（ii）若g（x）＞0，則x＞0．又f（0）＞0，因此必須x＜0時，f（x）＞0恒成立．因此對稱軸x=$\frac{4-m}{2m}$＞0，解得0＜m＜4．
綜上可得：0＜m＜8．
∴實數(shù)m的取值范圍是（0，8）．

點評 本題考查了簡易邏輯的判定方法、二次函數(shù)的單調(diào)性、分類討論方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．