Question

23、已知函數(shù)y=f（x）的定義域是非空數(shù)集A，值域是非空數(shù)集B．
（1）若y=f（x）是集合A上的增函數(shù)，則y=f^-1（x）是集合B上的增函數(shù)；
（2）y=f（x）是集合A上的減函數(shù)，y=f^-1（x）是集合B上的減函數(shù)．

Answer 1

分析：（1）由增函數(shù)的定義可知，自變量和函數(shù)值的變化步調(diào)一致；反函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系為自變量和因變量互換．
（2）與（1）同理可證．

解答：解：（1）若y=f（x）是集合A上的增函數(shù)，即對(duì)任意x₁＜x₂，都有f（x₁）＜f（x₂）成立；
反之，若f（x₁）＜f（x₂）成立，則f^-1（f（x₁））＜f^-1（f（x₂）），即x₁＜x₂，故y=f^-1（x）是集合B上的增函數(shù)．
（2）同理可證y=f（x）是集合A上的減函數(shù)，y=f^-1（x）是集合B上的減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查互為反函數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性，屬基本題．新課標(biāo)對(duì)反函數(shù)的要求為：知道同底的指對(duì)函數(shù)互為反函數(shù)，其他均不要求．