已知點A（x1，y1），B（x2，y2）（x1x2≠0）是拋物線y2=2px（p＞0）上的兩個動點，O是坐標原點，且OA⊥OB，設圓C的方程為x2+y2-（x1+x2）x-（y1+y2）y=0．
（1）證明：圓C是以線段AB為直徑的圓；
（2）當圓心C到直線x-2y=0的距離的最小值為
5
時，求P的值．
分析：（1）利用OA⊥OB，可得數(shù)量積為零，把兩個式子進行比較，整理得到結果．
（2）根據(jù)兩個點是拋物線上的點，把點的坐標代入拋物線方程，整理變化得到圓心的軌跡方程，表示出圓心到直線的距離，根據(jù)二次函數(shù)的最值得到結果，本題考查運算能力．
解答：（1）證明：因為OA⊥OB，∴x1x2+y1y2=0①
設點M（x，y）是以線段AB為直徑的圓上的任意一點，則
MA
•
MB
=0
即（x-x1）（x-x2）+（y-y1）（y-y2）=0
展開上式并將 ①代入得x2+y2-（x1+x2）x-（y1+y2）y=0
故圓C是以線段AB為直徑的圓；
（2）解：設圓C的圓心為C（x，y），
則x=
x1+x2
2
，y=
y1+y2
2

∵y12=2px1，y22=2px2（p＞0），
∴x1x2=
y12y22
4p2

又∵x1x2+y1y2=0
∴x1x2=-y1y2
∴-y1y2=
y12y22
4p2

∴y1y2=-4p2
∴x=
x1+x2
2
=
1
4p
（y12+y22）
=
1
4p
（y12+y22+2y1y2）-
y1y2
2p

=
1
p
（y2+2p2）
∴圓心的軌跡方程為：y2=px-2p2
設圓心C到直線x-2y=0的距離為d，則d=
|x-2y|
5
=
|(y-p)2+p2|
5
p
≥
p
5

∴當y=p時，d有最小值
p
5

∴
p
5
=
5

∴p=5．
點評：本小題主要考查平面向量的基本運算，圓與拋物線的方程，點到直線的距離等基礎知識，考查學生的計算能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知點A（x1，y1），B（x2，y2）（x1x2≠0）是拋物線y2=2px（p＞0）上的兩個動點，O是坐標原點，向量
OA
，
OB
滿足|
OA
+
OB
|=|
OA
-
OB
|，設圓C的方程為x2+y2-（x1+x2）x-（y1+y2）y=0．
（1）證明線段AB是圓C的直徑；
（2）當圓C的圓心到直線x-2y=0的距離的最小值為
2
5
5
時，求p的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知點A（x1，y1），B（x2，y2）是橢圓L：
x2
18
+
y2
9
=1上不同的兩點，線段AB的中點為M(2，
1)．
（1）求直線AB的方程；
（2）若線段AB的垂直平分線與橢圓L交于點C、D，試問四點A、B、C、D是否在同一個圓上，若是，求出該圓的方程；若不是，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知點A（x1，y1），B（x2，y2）是函數(shù)y=sinx（-π＜x＜0）圖象上的兩個不同點，且x1＜x2，給出下列不等式：
①sinx1＜sinx2；
②sin
x1
2
＜sin
x2
2
；
③
1
2
(sinx1+sinx2)＞sin
x1+x2
2
；
④
sinx1
x1
＞
sinx2
x2
．
其中正確不等式的序號是
②③
②③
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知點A （x1，y1）；B（x2，y2）是定義在區(qū)間M上的函數(shù)y=f（x）的圖象任意不重合兩點，直線AB的斜率總小于零，則函數(shù)y=f（x） 在區(qū)間M上總是（　　）

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