【題目】已知橢圓與拋物線y2=x有一個相同的焦點,且該橢圓的離心率為.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)過點P(0,1)的直線與該橢圓交于A,B兩點,O為坐標原點,若,求△AOB的面積.
【答案】(1);(2)
【解析】試題分析:(1)先求橢圓焦點得c,再根據(jù)離心率列方程組可得a=2,b2=2 (2)將OP視為底,根據(jù)三角形面積公式得S= |OP|·|x1-x2|,再聯(lián)立直線方程與橢圓方程,利用韋達定理化簡得|x1-x2|,最后根據(jù)解出k,代入解得△AOB的面積.
試題解析:解:(1)依題意,設(shè)橢圓的標準方程為+=1(a>b>0),
由題意可得c=,又e==,∴a=2.
∴b2=a2-c2=2,
∴橢圓的標準方程為+=1.
(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
由=2,得
設(shè)直線AB的方程為y=kx+1,代入橢圓方程整理,得
(2k2+1)x2+4kx-2=0,
∴x1+x2=-,x1·x2=-.
將x1=-2x2代入上式整理可得, 2=,
解得k2=.
∴△AOB的面積S=|OP|·|x1-x2|
==·=.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】蘋果可按果徑(最大橫切面直徑,單位:.)分為五個等級:時為1級,時為2級,時為3級,時為4級,時為5級.不同果徑的蘋果,按照不同外觀指標又分為特級果、一級果、二級果.某果園采摘蘋果10000個,果徑均在內(nèi),從中隨機抽取2000個蘋果進行統(tǒng)計分析,得到如圖1所示的頻率分布直方圖,圖2為抽取的樣本中果徑在80以上的蘋果的等級分布統(tǒng)計圖.
(1)假設(shè)服從正態(tài)分布,其中的近似值為果徑的樣本平均數(shù)(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值代替),,試估計采摘的10000個蘋果中,果徑位于區(qū)間的蘋果個數(shù);
(2)已知該果園今年共收獲果徑在80以上的蘋果,且售價為特級果12元,一級果10元,二級果9元.設(shè)該果園售出這蘋果的收入為,以頻率估計概率,求的數(shù)學期望.
附:若隨機變量服從正態(tài)分布,則
,,.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】中國剪紙是一種用剪刀或刻刀在紙上剪刻花紋,用于裝點生活或配合其他民俗活動的民間藝術(shù);蘊含了極致的數(shù)學美和豐富的傳統(tǒng)文化信息,現(xiàn)有一幅剪紙的設(shè)計圖,其中的4個小圓均過正方形的中心,且內(nèi)切于正方形的兩鄰邊.若在正方形內(nèi)隨機取一點,則該點取自黑色部分的概率為( )
A. B. C. D.
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【題目】隨著電子商務的興起,網(wǎng)上銷售為人們帶來了諸多便利.商務部預計,到2020年,網(wǎng)絡銷售占比將達到.網(wǎng)購的發(fā)展同時促進了快遞業(yè)的發(fā)展,現(xiàn)有甲、乙兩個快遞公司,每位打包工平均每天打包數(shù)量在范圍內(nèi).為擴展業(yè)務,現(xiàn)招聘打包工.兩公司提供的工資方案如下:甲公司打包工每天基礎(chǔ)工資64元,且每天每打包一件快遞另賺1元;乙公司打包工無基礎(chǔ)工資,如果每天打包量不超過240件,則每打包一件快遞可賺1.2元;如果當天打包量超過240件,則超出的部分每件賺1.8元.
下圖為隨機抽取的打包工每天需要打包數(shù)量的頻率分布直方圖,以打包量的頻率作為各打包量發(fā)生的概率.(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中間值作代表).
(1)(i)以每天打包量為自變量,寫出乙公司打包工的收入函數(shù);
(ii)若打包工小李是乙公司員工,求小李一天收入不低于324元的概率;
(2)某打包工在甲、乙兩個快遞公司中選擇一個公司工作,如果僅從日平均收入的角度考慮,請利用所學的統(tǒng)計學知識為該打包工作出選擇,并說明理由.
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【題目】若方程所表示的曲線為,則下面四個選項中錯誤的是( )
A.若為橢圓,則B.若是雙曲線,則其離心率有
C.若為雙曲線,則或D.若為橢圓,且長軸在軸上,則
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【題目】已知函數(shù),.
(Ⅰ)求函數(shù)的極值;
(Ⅱ)若實數(shù)為整數(shù),且對任意的時,都有恒成立,求實數(shù)的最小值.
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【題目】在平行四邊形中,過點C的直線與線段、分別相交于點M、N,若,;
(1)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式;
(2)定義函數(shù)(),點列(,)在函數(shù)的圖像上,且數(shù)列是以1為首項,0.5為公比的等比數(shù)列,O為原點,令,是否存在點,使得?若存在,求出Q點的坐標,若不存在,說明理由;
(3)設(shè)函數(shù)為上的偶函數(shù),當時,,又函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱,當方程在()上有兩個不同的實數(shù)解時,求實數(shù)a的取值范圍;
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓,為左焦點,為上頂點,為右頂點,若,拋物線的頂點在坐標原點,焦點為.
(1)求的標準方程;
(2)是否存在過點的直線,與和交點分別是和,使得?如果存在,求出直線的方程;如果不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】我國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)商功》中闡述:“斜解立方,得兩塹堵.斜解塹堵,其一為陽馬,一為鱉臑.陽馬居二,鱉臑居一,不易之率也.合兩鱉臑三而一,驗之以棊,其形露矣.”若稱為“陽馬”的某幾何體的三視圖如圖所示,圖中網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,對該幾何體有如下描述:
①四個側(cè)面都是直角三角形;
②最長的側(cè)棱長為;
③四個側(cè)面中有三個側(cè)面是全等的直角三角形;
④外接球的表面積為24π.
其中正確的描述為____.
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