Question

動圓M過定點A(－，0)，且與定圓A´：(x－)²＋y²＝12相切．

(1)求動圓圓心M的軌跡C的方程；

(2)過點P(0，2)的直線l與軌跡C交于不同的兩點E、F，求的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1）

（2）

【解析】

試題分析：解：(1)A´(，0)，依題意有|MA´|＋＝2  1分

|MA´|＋|MA|＝2 ＞2                    3分

∴點M的軌跡是以A´、A為焦點，2為長軸上的橢圓，   4分

∵a＝，c＝ ∴b²＝1．                 5分

因此點M的軌跡方程為                 6分                

(2)設l的方程為x＝k(y－2)代入，消去x得：

(k²＋3)y²－4k²y＋4k²－3＝0                       8分

由△＞0得16k⁴－(4k²－3)(k²＋3)＞0 0≤k²＜1    9分

設E(x₁，y₁)，F(xiàn)(x₂，y₂)，則y₁＋y₂＝，y₁y₂＝   10分

又＝(x₁，y₁－2)，＝(x₂，y₂－2)

∴·＝x₁x₂＋(y₁－2)(y₂－2)＝k(y₁－2)·k (y₂－2) ＋(y₁－2)(y₂－2)＝(1＋k²)＝       12分

∵0≤k²＜1 ∴3≤k²＋3＜4                 13分

∴·∈                            14分

考點：向量的數(shù)量積以及直線與橢圓的位置關系

點評：主要是考查了橢圓方程，直線與橢圓的位置關系的運用，屬于基礎題。