Question

如圖所示，已知橢圓C的兩個焦點分別為F₁（-1，0）、F₂（1，0），且F₂到直線x-

3

y-9=0的距離等于橢圓的短軸長．
（Ⅰ） 求橢圓C的方程；
（Ⅱ） 若圓P的圓心為P（0，t）（t＞0），且經(jīng)過F₁、F₂，Q是橢圓C上的動點且在圓P外，過Q作圓P的切線，切點為M，當(dāng)|QM|的最大值為

3 2

2

時，求t的值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）設(shè)橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），利用條件求出b，c，a，得到橢圓C的方程．
（Ⅱ） 設(shè)Q（x，y）圓P的方程為x²+（y-t）²=t²+1，利用PM⊥QM，求出|OM|的表達式，通過-4t≤-2，當(dāng)-4t＞-2，分別求解|QM|的最大值．求出t，推出結(jié)果．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
依題意，2b=

|1-9|

2

=4，…（1分）
所以b=2…（2分）   又c=1，…（3分）
所以a²=b²+c²=5，…（4分）
所以橢圓C的方程為

x2

5

+

y2

4

=1．…（5分）
（Ⅱ） 設(shè)Q（x，y）（其中

x2

5

+

y2

4

=1），…（6分）
圓P的方程為x²+（y-t）²=t²+1，…（7分）
因為PM⊥QM，
所以|QM|=

|PQ|2-t2-1

=

x2+(y-t)2-t2-1

=

- 1 4 (y+4t)2+4+4t2

…（9分）
當(dāng)-4t≤-2即t≥

1

2

時，當(dāng)y=-2時，|QM|取得最大值，…（10分）
且|QM|max=

4t+3

=

3 2

2

，解得t=

3

8

＜

1

2

（舍去）．…（11分）
當(dāng)-4t＞-2即0＜t＜

1

2

時，當(dāng)y=-4t時，|QM|取最大值，…（12分）
且|QM|max=

4+4t2

=

3 2

2

，解得t2=

1

8

，又0＜t＜

1

2

，
所以t=

2

4

．…（13分）
綜上，當(dāng)t=

2

4

時，|QM|的最大值為

3 2

2

．…（14分）

點評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，直線與橢圓以及圓的位置關(guān)系，考查分析問題解決問題的能力．