Question

已知α，β∈（0，

π

2

），α+β≠

π

2

，

a

=（sinα，sinβ）與

b

=（cos（α+β），-1），

a

⊥

b

，當tanβ取最大值時，求tan（α+β）

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算

專題：三角函數(shù)的求值,不等式的解法及應(yīng)用,平面向量及應(yīng)用

分析：先根據(jù)向量的垂直得到數(shù)量積等于0，利用三角函數(shù)的和差公式，化簡整理得到tanβ=

sinαcosα

2sin2α+cos2α

，再利用基本不等式求出tanβ的最大值，再利用公式計算即可

解答： 解：∵α，β∈（0，

π

2

），
∴sinα＞0，cosα＞0，
∵

a

=（sinα，sinβ）與

b

=（cos（α+β），-1）垂直，
∴

a

•

b

=sinαcos（α+β）-sinβ=0，
∴sinαcosαcosβ-sin²αsinβ-sinβ=0，
即sinαcosαcosβ=sinβ（1+sin²α）=sinβ（cos²α+2sin²α），
∴tanβ=

sinαcosα

2sin2α+cos2α

≤sinαcosα×

1

2 2 sinαcosα

=

2

4

，當且僅當

2

sinα=cosα，即tanα=

2

2

是取等號，
∵tanβ取最大值時，
∴tanβ=

2

4

，
∴tan（α+β）=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=

2

點評：本題考查了向量垂直，三角函數(shù)的和差公式，切和弦的轉(zhuǎn)化，基本不等式，培養(yǎng)了學生的轉(zhuǎn)化能力，計算能力，應(yīng)用能力，屬于中檔題