Question

若不等式-1≤sin²x+4cosx+a²≤13對(duì)一切實(shí)數(shù)x均成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)的最值

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：首先，根據(jù)題意，換元法得到關(guān)于t的二次函數(shù)，然后利用函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)y=-t²+4t+1+a²的最大值和最小值，然后，根據(jù)不等式-1≤sin²x+4cosx+a²≤13對(duì)一切實(shí)數(shù)x均成立，等價(jià)于

a2-4≤13 4+a2≥-1

，求解實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：設(shè)函數(shù)y=sin²x+4cosx+a²，
=1-cos²x+4cosx+a²
=-cos²x+4cosx+1+a²
令cosx=t，則t∈[-1，1]，
∴y=-t²+4t+1+a²
=-（t+2）²+a²
在區(qū)間[-1，1]上為減函數(shù)，
∴當(dāng)t=-1時(shí)，函數(shù)y取得最大值a²-4，
當(dāng)t=1時(shí)，函數(shù)y取得最小值4+a²，
∵不等式-1≤sin²x+4cosx+a²≤13對(duì)一切實(shí)數(shù)x均成立，
∴

a2-4≤13 4+a2≥-1

，
∴-

17

≤a≤

17

，
故答案為：[-

17

，

17

]．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查了不等式的恒成立問(wèn)題，函數(shù)的最值等知識(shí)，屬于中檔題．解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)．