Question

甲、乙兩名運動員在4次訓(xùn)練中的得分情況如下面的莖葉圖所示．
（Ⅰ）分別計算甲、乙兩名運動員訓(xùn)練得分的平均數(shù)和方差，并指出誰的訓(xùn)練成績更好，為什么？
（Ⅱ）從甲、乙兩名運動的訓(xùn)練成績中各隨機抽取1次的得分，分別記為x，y，設(shè)ξ=|x-8|+|y-10|．求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,莖葉圖

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）計算甲、乙兩名運動員訓(xùn)練得分的平均數(shù)和方差，得到乙的平均水平比甲高，乙的訓(xùn)練成績比甲穩(wěn)定，乙的訓(xùn)練成績更好些．
（Ⅱ）由題意知ξ=0，1，2，3，4，5，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（Ⅰ）∵

.

x甲

=

1

4

(8+8+9+11)=9，

s

2 甲

=

1

4

[(8-9)2×2+(9-9)2+(11-9)2]=

3

2

．…（2分）

.

x乙

=

1

4

(8+9+10+11)=

19

2

，

s

2 乙

=

1

4

[(8-

19

2

)2+(9-

19

2

)2+(10-

19

2

)2+(11-

19

2

)2]=

5

4

．…（4分）

.

x甲

＜

.

x乙

，  

s

2 甲

＞

s

2 乙

，
說明乙的平均水平比甲高，乙的訓(xùn)練成績比甲穩(wěn)定，
∴乙的訓(xùn)練成績更好些．…（5分）
（Ⅱ）由題意知ξ=0，1，2，3，4，5，
P(ξ=0)=

C 1 2 • C 1 1

C 1 4 • C 1 4

=

1

8

，
P(ξ=1)=

C 1 2 • C 1 2 + C 1 1 • C 1 1

C 1 4 • C 1 4

=

5

16

，
P(ξ=2)=

C 1 2 • C 1 1 + C 1 1 • C 1 2

C 1 4 • C 1 4

=

1

4

，
P(ξ=3)=

C 1 1 • C 1 1 + C 1 1 • C 1 1

C 1 4 • C 1 4

=

1

8

，
P(ξ=4)=

C 1 1 • C 1 2

C 1 4 • C 1 4

=

1

8

，
P(ξ=5)=

C 1 1 • C 1 1

C 1 4 • C 1 4

=

1

16

，…（8分）
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3	4	5
P	1 8	5 16	1 4	1 8	1 8	1 16

…（10分）
E(ξ)=0×

1

8

+1×

5

16

+2×

1

4

+3×

1

8

+4×

1

8

+5×

1

16

=2．…（12分）

點評：本題考查平均數(shù)、方差的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，解題時要認真審題，是中檔題．