Question

【題目】已知函數(shù)，其中．

（1）當(dāng)時，求函數(shù)在處的切線方程；

（2）記函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是，若不等式對任意的實數(shù)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；

（3）設(shè)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若函數(shù)存在兩個極值點，，且，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求切線斜率，由點斜式可得切線方程；（2）先求導(dǎo)，則不等式對任意的實數(shù)恒成立，轉(zhuǎn)化為對任意實數(shù)恒成立，構(gòu)造函數(shù)，分類討論，即可求出的范圍；（3）先求導(dǎo)根據(jù)函數(shù)存在兩個極值點，可得，且，再化簡，可得到，構(gòu)造，，求出函數(shù)的最值即可.

（1）當(dāng)時，，其中．故．

，故．

所以函數(shù)在處的切線方程為，即．

（2）由，可得．

據(jù)題意可知，不等式對任意實數(shù)恒成立，

即對任意實數(shù)恒成立，

令，．故．

若，則，在上單調(diào)遞增，，故符合題意．

若，令，得（負(fù)舍）．

當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，故，與題意矛盾，所以不符題意．

綜上所述，實數(shù)a的取值范圍．

（3）據(jù)題意，其中．

則．

因為函數(shù)存在兩個極值點，，所以，是方程的兩個不等的正根，

故得，且

所以

；

，

據(jù)可得，，

即，又，故不等式可簡化為，

令，，則，

所以在上單調(diào)遞增，又，

所以不等式的解為．

所以實數(shù)a的取值范圍是．