Question

設(shè)集合S_n={1，2，3…n}，若X是S_n的子集，把X中所有元素的和稱為X的“容量”（規(guī)定空集的容量為0），若X的容量為奇（偶）數(shù)，則稱X為S_n的奇（偶）子集．
（Ⅰ） 寫出S₄的所有奇子集；
（Ⅱ） 求證：S_n的奇子集與偶子集個數(shù)相等；
（Ⅲ）求證：當(dāng)n≥3時，S_n的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)題意，分析S₄的子集，對應(yīng)奇子集的定義，即可得S₄的所有奇子集；
（Ⅱ）設(shè)S為S_n的奇子集，根據(jù)奇子集和偶子集的定義，按1是否屬于S進行分類，則得到奇子集和偶子集之間的關(guān)系，分析即可證得結(jié)論；
（Ⅲ）根據(jù)（Ⅱ）中的結(jié)論，計算奇子集容量之和時，元素i的貢獻是2^n-2i，即可求得奇子集的容量之和，從而得到偶子集的容量之和，即可得到結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）由題意可知，當(dāng)n=4時，s₄={1，2，3，4}，
∵X的容量為奇數(shù)，則X為S_n的奇子集，
∴所有的奇子集為{1}、{3}、{1，3}；
（Ⅱ）證明：設(shè)S為S_n的奇子集，令T=

S∪1，若1∉S S{1，若1∈S

，
則T是偶子集，A→T是奇子集的集到偶子集的一一對應(yīng)，而且每個偶子集T，均恰有一個奇子集，S=

T∪1，若1∉T T{1，若1∈T

與之對應(yīng)，
故S_n的奇子集與偶子集個數(shù)相等；
（Ⅲ）對任一i（1≤i≤n），含i的子集共有2^n-1個，用上面的對應(yīng)方法可知，
在i≠1時，這2^n-1個子集中有一半時奇子集，
在i=1時，由于n≥3，將上邊的1換成3
，同樣可得其中有一半時奇子集，
于是在計算奇子集容量之和時，元素i的貢獻是2^n-2i，
∴奇子集容量之和是

n

i=1

2n-2i=n（n+1）•2^n-3，
根據(jù)上面所說，這也是偶子集的容量之和，兩者相等，
故當(dāng)n≥3時，S_n的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和．

點評：本題考查集合的子集，是新定義的題型，關(guān)鍵是正確理解奇、偶子集與容量的概念．在解答過程當(dāng)中充分體現(xiàn)了新定義問題的規(guī)律、列舉的方法還有問題轉(zhuǎn)化的思想．值得同學(xué)們體會反思．屬于難題．