Question

如圖，已知三角形ABC的三邊AB=4，AC=5，BC=3，橢圓M以A、B為焦點且經(jīng)過點C．
（Ⅰ）建立適當(dāng)直角坐標(biāo)系，求橢圓M的標(biāo)準方程；
（Ⅱ）過線段AB的中點的直線l交橢圓M于E，F(xiàn)兩點，試求的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）如圖，以線段AB的中點為原點，以AB所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，由已知設(shè)橢圓M的方程為，根據(jù)定義2a=AC+BC=8，2c=AB=4，b²=a²-c²，b＞0
∴橢圓M的標(biāo)準方程．
（Ⅱ）解法一：直線l經(jīng)過橢圓的中心，設(shè)E（x₀，y₀），F(xiàn)（-x₀，-y₀），
則　
又A（-2，0），B（2，0），
∴
∴==
由橢圓的性質(zhì)得-4≤x₀≤4
∴
∴的取值范圍是[-36，-4]．
解法二：由橢圓的性質(zhì)得
∴
∴．
又A是橢圓M的焦點．點E在橢圓M上，即，
∴的取值范圍是[-36，-4]．
分析：（Ⅰ）以線段AB的中點為原點，以AB所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)橢圓M的方程為，由2a=AC+BC=8，2c=AB=4，能導(dǎo)出橢圓M的標(biāo)準方程．
（Ⅱ）解法一：直線l經(jīng)過橢圓的中心，設(shè)E（x₀，y₀），F(xiàn)（-x₀，-y₀），則　，由A（-2，0），B（2，0），，=，由此能求出的取值范圍．
解法二：由橢圓的性質(zhì)得 ，，．由此能求出的取值范圍．
點評：本題考查橢圓的標(biāo)準方程的求法，求的取值范圍．解題時要認真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．