已知△ABC的外接圓半徑為1，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．向量
m
=(a，4cosB)，
n
=(cosA，b)滿足
m
∥
n
．
（1）求sinA+sinB的取值范圍；
（2）若A∈(0，
π
3
)，且實數(shù)x滿足abx=a-b，試確定x的取值范圍．
分析：（1）由向量平行的坐標表示及正弦定理可得4sinAsinB=4cosAcosB，然后利用兩角和的余弦公式可求A+B，然后利用輔助角公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)可求
（2）由題意可得，x=
a-b
ab
=
sinA-sinB
2sinAsinB
=
sinA-cosA
2sinAcosA
，利用換元法設(shè)t=sinA-cosA，利用同角平方關(guān)系可把2sinAcosA用t表示，結(jié)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可判斷函數(shù)的單調(diào)性進而可求取值范圍
解答：解：（1）∵
m
∥
n

由向量平行的坐標表示可得，
a
cosA
=
4cosB
b
即ab=4cosAcosB
∵△ABC的外接圓半徑為1
由正弦定理可得，4sinAsinB=4cosAcosB
∴cosAcosB-sinAsinB=0即cos（A+B）=0
∵0＜A+B＜π
∴A+B=
1
2
π故△ABC為直角三角形
∴sinA+sinB=sinA+cosA=
2
sin(A+
π
4
)
∵
π
4
＜A+
π
4
＜
3π
4

∴
2
2
＜sin(A+
π
4
)≤1
∴1＜sinA+sinB≤
2

（2）由題意可得，x=
a-b
ab
=
sinA-sinB
2sinAsinB
=
sinA-cosA
2sinAcosA

設(shè)t=sinA-cosA（-1＜t＜
3
-1
2
），則2sinAcosA=1-t2
∴x=
t
1-t2

∵=
1+t2
(1-t2)2
＞0
故x=
t
1-t2
在（-1，
3
-1
2
）上單調(diào)遞增
∴
t
1-t2
＜
3
-1
2
1-(
3
-1
2
)2
=
3-
3
3

∴x的取值范圍是x＜
3-
3
3
點評：本題綜合考查了正弦定理及和差角公式、輔助角公式、同角平方關(guān)系及函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系的綜合應(yīng)用
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知△ABC的外接圓的圓心O，BC＞CA＞AB，則
OA
•
OB
，
OA
•
OC
，
OB
•
OC
的大小關(guān)系為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知△ABC的外接圓的半徑為
2
，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，又向量
m
=(sinA-sinC，b-a)，
n
=(sinA+sinC，
2
4
sinB)，且
m
⊥
n
，
（I）求角C；
（II）求三角形ABC的面積S的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知△ABC的外接圓半徑R為6，面積為S，a、b、c分別是角A、B、C的對邊設(shè)S=a2-(b-c)2，sinB+sinC=
43
．
（I）求sinA的值；
（II）求△ABC面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知△ABC的外接圓圓心為O，BC＞CA＞AB．則（　　）
A、
OA
•
OB
＞
OA
•
OC
＞
OB
•
OC
B、
OA
•
OB
＞
OB
•
OC
＞
OC
•
OA
C、
OC
•
OB
＞
OA
•
OC
＞
OB
•
OA
D、
OA
•
OC
＞
OB
•
OC
＞
OA
•
OB

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