Question

已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，N*

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）已知（N*），記（且），是否存在這樣的常數(shù)，使得數(shù)列是常數(shù)列，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

（3）若數(shù)列，對于任意的正整數(shù)，均有成立，求證：數(shù)列是等差數(shù)列；

Answer 1

（1） （）;（2） ;（3）

【解析】

試題分析：（1），所以，由得時(shí)，，兩式相減得，，， 數(shù)列是以2為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，即可求出通項(xiàng)公式；（2）由于數(shù)列是常數(shù)列，可得=為常數(shù)，故只有,解得,可得;（3）①，，其中，所以；當(dāng)時(shí)，②；②式兩邊同時(shí)乘以得，③；①式減去③得，，所以 且 可得數(shù)列是以為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列.

試題解析：【解析】
（1），所以1分

由得時(shí)，2分

兩式相減得，，，3分

數(shù)列是以2為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，所以（）5分

（2）由于數(shù)列是常數(shù)列

=6分

為常數(shù)7分

只有,8分；解得,9分

此時(shí)10分

（3）①

，，其中，所以11分

當(dāng)時(shí)，②12分

②式兩邊同時(shí)乘以得，③13分

①式減去③得，，所以14分

且15分

所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列。16分.

考點(diǎn)：1.等差數(shù)列、等比數(shù)列、常數(shù)數(shù)列的性質(zhì)；2.數(shù)列的求和公式.