【題目】設(shè)函數(shù).
(1)當(dāng)(
為自然對數(shù)的底數(shù))時,求
的最小值;
(2)討論函數(shù)零點的個數(shù);
(3)若對任意恒成立,求
的取值范圍.
【答案】(1)2(2)當(dāng)時,函數(shù)
無零點;當(dāng)
或
時,函數(shù)
有且僅有一個零點;當(dāng)
時,函數(shù)
有兩個零點;(3)
【解析】試題分析:(1)當(dāng)m=e時, >0,由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出f(x)的極小值;(2)由
,得
,令
,x>0,m∈R,則h(1)=
,
h′(x)=1-x2=(1+x)(1-x),由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出函數(shù)g(x)=f′(x)-零點的個數(shù);(3)(理)當(dāng)b>a>0時,f′(x)<1在(0,+∞)上恒成立,由此能求出m的取值范圍
試題解析:(1)由題設(shè),當(dāng)時,
易得函數(shù)的定義域為
當(dāng)
時,
,此時
在
上單調(diào)遞減;
當(dāng)時,
,此時
在
上單調(diào)遞增;
當(dāng)
時,
取得極小值
的極小值為2
(2)函數(shù)
令,得
設(shè)
當(dāng)時,
,此時
在
上單調(diào)遞增;
當(dāng)時,
,此時
在
上單調(diào)遞減;
所以是
的唯一極值點,且是極大值點,因此x=1也是
的最大值點,
的最大值為
又,結(jié)合y=
的圖像(如圖),可知
①當(dāng)時,函數(shù)
無零點;
②當(dāng)時,函數(shù)
有且僅有一個零點;
③當(dāng)時,函數(shù)
有兩個零點;
④時,函數(shù)
有且只有一個零點;
綜上所述,當(dāng)時,函數(shù)
無零點;當(dāng)
或
時,函數(shù)
有且僅有一個零點;當(dāng)
時,函數(shù)
有兩個零點.
(3)對任意恒成立,等價于
恒成立
設(shè),
在
上單調(diào)遞減
在
恒成立
恒成立
(對
,
僅在
時成立),
的取值范圍是
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列,
,其前
項和
滿足
,其中
.
(1)設(shè),證明:數(shù)列
是等差數(shù)列;
(2)設(shè),
為數(shù)列
的前
項和,求證:
;
(3)設(shè)(
為非零整數(shù),
),試確定
的值,使得對任意
,都有
成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓:
的左、右焦點分別為
,過點
作垂直于
軸的直線
,直線
垂直
于點
,線段
的垂直平分線交
于點
.
(1)求點的軌跡
的方程;
(2)過點作兩條互相垂直的直線
,且分別交橢圓于
,求四邊形
面積的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知動直線過點
,且與圓
交于
、
兩點.
(1)若直線的斜率為
,求
的面積;
(2)若直線的斜率為
,點
是圓
上任意一點,求
的取值范圍;
(3)是否存在一個定點(不同于點
),對于任意不與
軸重合的直線
,都有
平分
,若存在,求出定點
的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為推行“微課、翻轉(zhuǎn)課堂”教學(xué)法,某數(shù)學(xué)老師分別用傳統(tǒng)教學(xué)和“微課、翻轉(zhuǎn)課堂”兩種不同的教學(xué)方式,在甲、乙兩個平行班級進(jìn)行教學(xué)實驗,為了比較教學(xué)效果,期中考試后,分別從兩個班級中各隨機抽取20名學(xué)生的成績進(jìn)行統(tǒng)計,結(jié)果如下表:
記成績不低于70分者為“成績優(yōu)良”.
(1)由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面列聯(lián)表,并判斷“成績優(yōu)良與教學(xué)方式是否有關(guān)”?
附:
臨界值表:
(2)現(xiàn)從上述40人中,學(xué)校按成績是否優(yōu)良采用分層抽樣的方法抽取8人進(jìn)行考核,在這8人中,記成績不優(yōu)良的乙班人數(shù)為,求
的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知四棱錐,底面
是
、邊長為
的菱形,又
底
,且
,點
分別是棱
的中點.
(1)證明:平面
;
(2)證明:平面平面
;
(3)求點到平面
的距離.[
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