已知△AOB的一個頂點為拋物線y2=2x的頂點O,A、B兩點都在拋物線上,且∠AOB=90°.

(1)證明直線AB必過一定點;

(2)求△AOB面積的最小值.

1、證明見解析2、當m=0時,S△AOB的最小值為4.


解析:

(1)設直線OA的方程為y=kx,則直線OB的方程為y=-x,

解得A()(k≠0).

同理由可得B(2k2,-2k),

∴直線AB的方程為y+2k=(x-2k2),化簡得x-(-k)y-2=0.

顯然過定點P(2,0).

(2)設直線AB方程為x=my+2,代入y2=2x,

得y2-2my-4=0,∴y1+y2=2m,y1·y2=-4,∴|y1-y2|=.

∴S△AOB=·|OP|·|y1-y2|=×2×.

顯然,當m=0時,S△AOB的最小值為4.

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