Question

已知橢圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1， 

3

2

)，且經(jīng)過(guò)雙曲線y²-x²=1的頂點(diǎn)．P是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是橢圓的左右焦點(diǎn)，
（1）求橢圓C的方程；
（2）求|PF₁|•|PF₂|的最大值和最小值．
（3）求

PF1

•

PF2

的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出橢圓方程，代入點(diǎn)A，即可求橢圓C的方程；
（2）利用橢圓的定義，結(jié)合配方法，可求|PF₁|•|PF₂|的最大值和最小值．
（3）利用向量的數(shù)量積公式，結(jié)合配方法，可求

PF1

•

PF2

的最大值和最小值．

解答：解：（1）雙曲線y²-x²=1的頂點(diǎn)為（0，1）
由題意，設(shè)橢圓C的方程為

x2

a2

+y2=1（a＞1），則將A(1， 

3

2

)代入可得

1

a2

+

3

4

=1
∴a=2
∴橢圓C的方程為

x2

4

+y2=1；
（2）設(shè)|PF₁|=m，則|PF₂|=4-m，且2-

3

≤m≤2+

3

∴|PF₁|•|PF₂|=m（4-m）=-（m-2）²+4
∴m=2時(shí)，|PF₁|•|PF₂|的最大值為4；m=2±

3

時(shí)，|PF₁|•|PF₂|的最小值為1；
（3）設(shè)P（x，y），則

PF1

•

PF2

=（-x-

3

，-y）•（

3

-x，-y）=x²+y²-3=

1

4

（3x2-8），
∵x∈[-2，2]
∴當(dāng)x=0時(shí)，即點(diǎn)P為橢圓短軸端點(diǎn)時(shí)，

PF1

•

PF2

有最小值-2；
當(dāng)x=±2，即點(diǎn)P為橢圓長(zhǎng)軸端點(diǎn)時(shí)，

PF1

•

PF2

有最大值1

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查橢圓的定義，考查向量知識(shí)，考查配方法的運(yùn)用，屬于中檔題．