Question

【題目】函數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）當時，方程在區(qū)間內(nèi)有唯一實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2) 或

【解析】

（1）先求得函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)和定義域，對分成等種情況，分類討論函數(shù)的單調(diào)性.（2）將分離常數(shù)化為，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)性和最值，由此求得的取值范圍.

（1），

（i）當時，，令,得，令,得，

函數(shù)在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減；

（ii）當時，令，得,

令,得，令,得，

函數(shù)在和上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減；

（iii）當時，，函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞增；

（iv）當時，

令,得，令,得

函數(shù)在和上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減；

綜上所述：當時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；

當時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；

當時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；

當時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為

（2）當時，，由，得，

又，所以，要使方程在區(qū)間上有唯一實數(shù)解，

只需有唯一實數(shù)解，

令，∴，

由得；得，

∴在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù).

，，，故或