Question

【題目】已知{an}為等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn（n∈N+），{bn}是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4﹣2a1 ， S11=11b4 ．
（Ⅰ）求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{a2nb2n﹣1}的前n項(xiàng)和（n∈N+）．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q．
由已知b2+b3=12，得b1（q+q2）=12，而b1=2，所以q+q2﹣6=0．
又因?yàn)閝＞0，解得q=2．所以，bn=2n ．
由b3=a4﹣2a1 ， 可得3d﹣a1=8①．
由S11=11b4 ， 可得a1+5d=16②，
聯(lián)立①②，解得a1=1，d=3，由此可得an=3n﹣2．
所以，數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=3n﹣2，數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn=2n ．
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{a2nb2n﹣1}的前n項(xiàng)和為Tn ，
由a2n=6n﹣2，b2n﹣1= 4n ， 有a2nb2n﹣1=（3n﹣1）4n ，
故Tn=2×4+5×42+8×43+…+（3n﹣1）4n ，
4Tn=2×42+5×43+8×44+…+（3n﹣1）4n+1 ，
上述兩式相減，得﹣3Tn=2×4+3×42+3×43+…+3×4n﹣（3n﹣1）4n+1
= =﹣（3n﹣2）4n+1﹣8
得Tn= ．
所以，數(shù)列{a2nb2n﹣1}的前n項(xiàng)和為 ．
【解析】（Ⅰ）設(shè)出公差與公比，利用已知條件求出公差與公比，然后求解{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）化簡(jiǎn)數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用錯(cuò)位相減法求解數(shù)列的和即可．