8．函數(shù)f（x）是[0，+∞）上的減函數(shù)，f（x）≠0，且 f（2）=1．證明函數(shù)F（x）=f（x）+$\frac{1}{f（x）}$在[0，2]上是減函數(shù)．

分析 求導數(shù)，$F′（x）=[\frac{{f}^{2}（x）-1}{{f}^{2}（x）}]•f′（x）$，根據(jù)f（x）在（0，+∞）是減函數(shù)，且f（2）=1，可得到x∈[0，2]時，f（x）≥1，而根據(jù)f（x）是減函數(shù)，便有f′（x）＜0，這樣即可得出F′（x）＜0，從而得出F（x）在[0，2]上是減函數(shù)．

解答 證明：$F′（x）=f′（x）-\frac{f′（x）}{{f}^{2}（x）}=[\frac{{f}^{2}（x）-1}{{f}^{2}（x）}]•f′（x）$；
∵f（x）在[0，+∞）上是減函數(shù)；
∴0≤x≤2時，f（x）≥f（2）=1；
∴f2（x）-1≥0，且f′（x）＜0；
∴F′（x）＜0；
∴F（x）在[0，2]上是減函數(shù)．

點評 考查函數(shù)單調(diào)性和函數(shù)導數(shù)符號的關(guān)系，減函數(shù)的定義的運用，要正確求導．

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

18．已知函數(shù)f（x）=lg（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）
（1）探究函數(shù)的下列性質(zhì)：定義域、奇偶性、單調(diào)性；
（2）若（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）（y+$\sqrt{{y}^{2}+1}$）=1，求x+y的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

19．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|lgx|，x＞0}\\{-{x}^{2}-2x，x≤0}\end{array}\right.$，若函數(shù)y=2[f（x）]2+3mf（x）+1有6個不同的零點，則實數(shù)m的取值范圍是m＜-1．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

16．已知函數(shù)f（x）=x2-2bx-3（b∈R）
（1）若f（x）在區(qū)間[0，3]上不具有單調(diào)性，求b的取值范圍；
（2）若b=1且當x∈[0，3]時，f（x）＞m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）求函數(shù)f（x）在[0，3]上的最小值g（b）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

3． 已知函數(shù)f（x）=ax（x-c）2在點x=x0處取得極大值32，其導函數(shù)y=f′（x）的圖象經(jīng)過點（2，0）、（6，0），如圖．
（1）求x0的值；
（2）求函數(shù)f（x）的解析式．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

13．已知函數(shù)f（x）=$\frac{a（x+1）-2}{x+1}$的圖象關(guān)于原點對稱，則實數(shù)a=2．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

20．討論函數(shù)f（x）=x+$\frac{a}{x}$（a＞0）的單調(diào)區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

17．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+4x+3，-3≤x＜0}\\{-3x+3，0≤x＜1}\\{{2}^{x}-2，1≤x≤3}\end{array}\right.$
 （1）畫出函數(shù)的圖象．
（2）指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（3）求函數(shù)的最大值和最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

18．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2x-3，（x≥11）}\\{f（x+5），（x＜11）}\end{array}\right.$，則f（0）=27．

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