Question

若在曲線f（x，y）=0（或y=f（x））上兩個不同點(diǎn)處的切線重合，則稱這條切線為曲線f（x，y）=0或y=f（x）的“自公切線”．下列方程：
①x²-y²=1；
②y=x²-|x|；
③y=3sinx+4cosx；
④|x|+1=

4- y 2

對應(yīng)的曲線中存在“自公切線”的有（　　）

A．①③

B．①④

C．②③

D．②④

Answer 1

①、x²-y²=1 是一個等軸雙曲線，沒有自公切線；
②、y=x²-|x|=

(x- 1 2  )2- 1 4 (x+ 1 2  )2- 1 4

，在 x=

1

2

 和 x=-

1

2

 處的切線都是y=-

1

4

，故②有自公切線．
③、y=3sinx+4cosx=5sin（x+φ），cosφ=

3

5

，sinφ=

4

5

，
此函數(shù)是周期函數(shù)，過圖象的最高點(diǎn)的切線都重合，故此函數(shù)有自公切線．
④、由于|x|+1=

4-y2

，即 x²+2|x|+y²-3=0，結(jié)合圖象可得，此曲線沒有自公切線．
故答案為 C．