【題目】已知橢圓：的左右焦點分別為、，左右頂點分別是、，長軸長為，是以原點為圓心，為半徑的圓的任一條直徑，四邊形的面積最大值為.

（1）求橢圓的方程；

（2）不經(jīng)過原點的直線：與橢圓交于、兩點，

①若直線與的斜率分別為，，且，求證：直線過定點，并求出該定點的坐標；

②若直線的斜率是直線、斜率的等比中項，求面積的取值范圍.

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）由題可得，再由四邊形的面積最大值為列方程即可求得，問題得解。

（2）①設，，聯(lián)立直線與橢圓方程可得：，即可表示出，，再整理，可得：，問題得解。

②由直線的斜率是直線、斜率的等比中項即可求得，再由弦長公式求得，求出點到直線的距離，即可表示，再利用基本不等式即可得解。

（1）由題可得：，即：，

當與軸重合時，四邊形的面積最大值

由已知可得：，解得：

所以橢圓方程為：.

（2）①證明：設，，

將代入橢圓方程得：，

，

∴，，

∵，

∴，

解得：，

∴直線的方程為，即，

故直線恒過定點；

②由直線的斜率是直線，斜率的等比中項，

即有，即，

∴，整理得：，解得，

代入有，

，

點到直線的距離，

∴ ，

（當且僅當時，等號成立）

所以面積的取值范圍是：.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】司機在開機動車時使用手機是違法行為，會存在嚴重的安全隱患，危及自己和他人的生命. 為了研究司機開車時使用手機的情況，交警部門調查了名機動車司機，得到以下統(tǒng)計：在名男性司機中，開車時使用手機的有人，開車時不使用手機的有人；在名女性司機中，開車時使用手機的有人，開車時不使用手機的有人．

（1）完成下面的列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認為開車時使用手機與司機的性別有關；

開車時使用手機

開車時不使用手機

合計

男性司機人數(shù)

女性司機人數(shù)

合計

（2）以上述的樣本數(shù)據(jù)來估計總體，現(xiàn)交警部門從道路上行駛的大量機動車中隨機抽檢3輛，記這3輛車中司機為男性且開車時使用手機的車輛數(shù)為，若每次抽檢的結果都相互獨立，求的分布列和數(shù)學期望．

參考公式與數(shù)據(jù)：

參考數(shù)據(jù)：

參考公式

span>，其中.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)；.

（1）判斷在上的單調性，并說明理由；

（2）求的極值；

（3）當時，，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知拋物線C：經(jīng)過點，A，B是拋物線C上異于點O的不同的兩點，其中O為原點．

（1）求拋物線C的方程，并求其焦點坐標和準線方程；

（2）若，求面積的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，曲線由曲線和曲線組成，其中點為曲線所在圓錐曲線的焦點，點為曲線所在圓錐曲線的焦點．

（1）若，求曲線的方程；

（2）如圖，作直線平行于曲線的漸近線，交曲線于點，求證：弦的中點必在曲線的另一條漸近線上；

（3）對于（1）中的曲線，若直線過點交曲線于點，求的面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知圓C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0．

(1)若圓C的切線在x軸和y軸上的截距相等，求此切線的方程．

(2)從圓C外一點P(x1，y1)向該圓引一條切線，切點為M，O為坐標原點，且有|PM|＝|PO|，求使得|PM|取得最小值的點P的坐標．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在四邊形中，，，，與交于點，若平面，.

（1）求證：；

（2）求二面角的大��；

（3）求異面直線所成的角的大小.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的離心率為，短軸長為2；

（1）求橢圓的標準方程；

（2）設橢圓上頂點，左、右頂點分別為、.直線且交橢圓于、兩點，點E 關于軸的對稱點為點，求證： ．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在五棱錐P-ABCDE中，△ABE是等邊三角形，四邊形BCDE是直角梯形且∠DEB=∠CBE=90°，G是CD的中點，點P在底面的射影落在線段AG上．

（Ⅰ）求證：平面PBE⊥平面APG；

（Ⅱ）已知AB=2，BC=，側棱PA與底面ABCDE所成角為45°，S△PBE=，點M在側棱PC上，CM=2MP，求二面角M-AB-D的余弦值．

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