Question

10．已知直線l為函數(shù)y=x+b的圖象，曲線C為二次函數(shù)y=（x-1）²+2的圖象，直線l與曲線C交于不同兩點A，B
（Ⅰ）當(dāng)b=7時，求弦AB的長；
（Ⅱ）求線段AB中點的軌跡方程；
（Ⅲ）試?yán)�用拋物線的定義證明：曲線C為拋物線．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)b=7時，直線y=x+7代入y=（x-1）²+2，求出A，B的坐標(biāo)，即可求弦AB的長；
（Ⅱ）把y=x+b代入y=（x-1）²+2，利用韋達定理，即可求線段AB中點的軌跡方程；
（Ⅲ）證明：曲線C上的任一點M到點（1，$\frac{9}{4}$）與到直線y=$\frac{7}{4}$的距離相等，即可確定曲線C為拋物線．

解答 解：（I）把直線y=x+7代入y=（x-1）²+2，得$\left\{{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=6}\end{array}}\right.$或$\left\{{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=11}\end{array}}\right.$，
即 A（-1，6），B（4，11），所以|AB|=5$\sqrt{2}$；…（4分）
（II）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x，y）
把y=x+b代入y=（x-1）²+2，得x²-3x+3-b=0…（6分）
由韋達定理x₁+x₂=3，△=3²-4（3-b）＞0，b＞$\frac{3}{4}$
所以$x=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}=\frac{3}{2}$，$y=\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}=\frac{{{x_1}+{x_2}+2b}}{2}=\frac{3}{2}+b＞\frac{9}{4}$，…（8分）
所以線段AB中點的軌跡方程$x=\frac{3}{2}（y＞\frac{9}{4}）$；…（10分）
（III）可以證明曲線C上的任一點M到點（1，$\frac{9}{4}$）與到直線y=$\frac{7}{4}$的距離相等．
或設(shè)曲線C上的任一點M（x，y）到點（1，m）的距離等于到直線y=n的距離，…（12分）
即$\sqrt{{{（x-1）}^2}+{{（y-m）}^2}}=|{y-n}|$，又y=（x-1）²+2，
整理得（1-2m）y+m²-2=-2ny+n²，
所以$\left\{{\begin{array}{l}{1-2m=-2n}\\{{m^2}-2={n^2}}\end{array}}\right.$，解得m=$\frac{9}{4}$，n=$\frac{7}{4}$； …（14分）
所以曲線C上的任一點M到點（1，$\frac{9}{4}$）與到直線y=$\frac{7}{4}$的距離相等．
所以曲線C是拋物線．…（16分）

點評 本題考查拋物線的定義，考查軌跡方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．