Question

【題目】若函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，滿足對任意，有.則稱為“形函數(shù)”；若函數(shù)定義域?yàn)?/span>，恒大于0，且對任意，恒有，則稱為“對數(shù)形函數(shù)”.

（1）當(dāng)時，判斷是否是“形函數(shù)”，并說明理由；

（2）當(dāng)時，判斷是否是“對數(shù)形函數(shù)”，并說明理由；

（3）若函數(shù)是形函數(shù)，且滿足對任意都有，問是否是“對數(shù)形函數(shù)”？請加以證明，如果不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）不是；詳見解析（2）是；詳見解析（3）是，詳見解析

【解析】

（1）由，作差化簡，得到當(dāng)，同號時，此時，即可得到結(jié)論；

（2）因?yàn)?/span>恒成立，可利用分析法和函數(shù)的新定義，作出判定和證明．

（3）由的新定義和，得到，進(jìn)而得到，再根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，即可求解．

（1）由題，函數(shù)，

則

當(dāng)，同號時，此時，

此時不滿足，所以不是型函數(shù)．

（2）因?yàn)?/span>恒成立，

要證對任意，，，

即證對任意，，，

即證對任意，，．

因?yàn)?/span>，

所以是對數(shù)型函數(shù)

（3）函數(shù)是對數(shù)型函數(shù)．證明如下：

因?yàn)?/span>是型函數(shù)，所以對任意，，有，

又由對任意，有，所以，

所以，所以，

所以，

所以是對數(shù)型函數(shù)．