Question

在實數(shù)范圍內(nèi)解不等式：5^x≥4^x+1．并利用解此題的方法證明：3^x+4^x=5^x有唯一解．

Answer 1

分析：將5^x≥4^x+1化為(

4

5

)x+(

1

5

)x≤1，利用f(x)=(

4

5

)x+(

1

5

)x是減函數(shù)的性質(zhì)，可求得不等式的解集，類比解此題的方法證明：3^x+4^x=5^x有唯一解．

解答：解：由5^x≥4^x+1得(

4

5

)x+(

1

5

)x≤1，顯然f(x)=(

4

5

)x+(

1

5

)x是減函數(shù)，又當(dāng)x=1時，(

4

5

)x+(

1

5

)x=1即f（1）=1；當(dāng)x＞1時，f(x)=(

4

5

)x+(

1

5

)x＜f(1)=1；不等式的解集為{x|x≤1}．
由方程3^x+4^x=5^x得，(

3

5

)x+(

4

5

)x=1，顯然函數(shù)g(x)=(

3

5

)x+(

4

5

)x是減函數(shù)，又當(dāng)x=2時，(

3

5

)x+(

4

5

)x=1，當(dāng)x＜2時，(

3

5

)x+(

4

5

)x＞1，當(dāng)x＞2時，(

3

5

)x+(

4

5

)x＜1，方程3^x+4^x=5^x有唯一解．

點評：本題考查函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，難點在于將5^x≥4^x+1化為(

4

5

)x+(

1

5

)x≤1，并構(gòu)造函數(shù)f(x)=(

4

5

)x+(

1

5

)x，通過研究函數(shù)的單調(diào)性解決問題，屬于難題．