Question

設函數(shù)f（x）=x²+bx-3，對于給定的實數(shù)b，f（x）在區(qū)間[b-2，b+2]上有最大值M（b）和最小值m（b），記g（b）=M（b）-m（b）．
（1）求g（b）的解析式；
（2）問b為何值時，g（b）有最小值？并求出g（b）的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)所給的二次函數(shù)的性質(zhì)，寫出對于對稱軸所在的區(qū)間不同時，對應的函數(shù)的最大值、最小值，即可求得函數(shù)g（b）的解析式；
（2）根據(jù)（1）求得的結(jié)果，利用二次函數(shù)在定區(qū)間上的最值的求法，以及分段函數(shù)求最值的方法即可求得結(jié)果．

解答：解：（1）f(x)=(x+

b

2

)2-3-

b2

4

，拋物線開口向上，其對稱軸方程為x=-

b

2

，下面就對稱軸與區(qū)間[b-2，b+2]端點的相對位置分段討論：
①當0≤b≤

4

3

時，b-2≤-

b

2

≤b+2且(b+2)-(-

b

2

)≥-

b

2

-(b-2)，
此時M（b）=f（b+2）=2b²+6b+1，m(b)=-3-

b2

4

．g(b)=

9

4

b2+6b+4．
②當-

4

3

≤b＜0時，b-2≤-

b

2

≤b+2且(b+2)-(-

b

2

)≤-

b

2

-(b-2)，
此時M（b）=f（b-2）=2b²-6b+1，m(b)=-3-

b2

4

．g(b)=

9

4

b2-6b+4．
③當b＞

4

3

時，-

b

2

＜b-2，f（x）在區(qū)間[b-2，b+2]上遞增，
此時M（b）=f（b+2）=2b²+6b+1，m（b）=f（b-2）=2b²-6b+1．g（b）=12b．
④當b＜-

4

3

時，-

b

2

＞b+2，f（x）在區(qū)間[b-2，b+2]上遞減，
此時M（b）=f（b-2）=2b²-6b+1，m（b）=f（b+2）=2b²+6b+1．g（b）=-12b．
綜上所得g(b)=

-12b，b＜- 4 3 9 4 b2-6b+4，- 4 3 ≤b＜0 9 4 b2+6b+4，0≤b≤ 4 3 12b，b＞ 4 3

（2）當b＜-

4

3

時，g(b)=-12b＞g(-

4

3

)=16；
當-

4

3

≤b＜0時，g(b)=

9

4

b2-6b+4遞減，g（b）＞g（0）=4；
當0≤b≤

4

3

時，g(b)=

9

4

b2+6b+4遞增，g（b）≥g（0）=4；
當b＞

4

3

時，g(b)=12b＞g(

4

3

)=16．
綜上所述，當b=0時，[g（b）]_min=4．

點評：本題看出二次函數(shù)的性質(zhì)，針對于函數(shù)的對稱軸是一個變化的值，需要對對稱軸所在的區(qū)間進行討論，本題是一個綜合題目，是一個易錯題．屬中檔題．