【題目】設(shè)是橢圓
上的點(diǎn),
,
是焦點(diǎn),離心率
.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè),
是橢圓上的兩點(diǎn),且
,(
是定數(shù)),問線段
的垂直平分線是否過定點(diǎn)?若過定點(diǎn),求出此定點(diǎn)的坐標(biāo),若不存在,說明理由.
【答案】(1);(2)過定點(diǎn)
,理由見解析
【解析】
(1)由橢圓的離心率可得出,可將橢圓方程化為
,再將點(diǎn)
的坐標(biāo)代入橢圓的方程,求出
的值,可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)分和
兩種情況討論,在
時(shí),分直線
的斜率存在與不存在兩種情況討論,在直線
的斜率存在的情況下,設(shè)直線
的方程為
,將該直線方程與橢圓方程聯(lián)立,利用韋達(dá)定理得出
,并求出線段
的垂直平分線方程,可求出線段
的垂直平分線所過定點(diǎn)坐標(biāo),在直線
垂直于
軸時(shí),檢驗(yàn)定點(diǎn)是否在線段
的垂直平分線
軸上;在
時(shí),直接根據(jù)對(duì)稱性得出結(jié)論.
(1)由于橢圓的離心率為,
,
所以,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,
將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得
,得
,
因此,橢圓的方程為;
(2)當(dāng)時(shí),若直線
的斜率存在,設(shè)直線
的方程為
,則
.
將直線的方程與橢圓方程聯(lián)立
,得
.
由韋達(dá)定理可得,
①,
所以,,則線段
的中點(diǎn)坐標(biāo)為
.
則線段的垂直平分線方程為
,即
,
即,此時(shí),線段
的垂直平分線過定點(diǎn)
;
若直線垂直于
軸,則點(diǎn)
、
兩點(diǎn)關(guān)于
軸對(duì)稱,線段
的垂直平分線為
軸,過點(diǎn)
;
當(dāng)時(shí),若直線
關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱,則線段
的垂直平分線為坐標(biāo)軸,過原點(diǎn);
若直線、
關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,則線段
的中點(diǎn)為原點(diǎn),其垂直平分線過原點(diǎn).
綜上所述,線段的垂直平分線過定點(diǎn)
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(I)當(dāng)a=2時(shí),求曲線在點(diǎn)
處的切線方程;
(II)設(shè)函數(shù),z.x.x.k討論
的單調(diào)性并判斷有無(wú)極值,有極值時(shí)求出極值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在直三棱柱中,
,
,
,點(diǎn)E,F分別在
,
,且
,
.設(shè)
.
(1)當(dāng)時(shí),求異面直線
與
所成角的大��;
(2)當(dāng)平面平面
時(shí),求
的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】關(guān)于函數(shù)有下述四個(gè)結(jié)論:
①是偶函數(shù);②
的最大值為
;
③在
有
個(gè)零點(diǎn);④
在區(qū)間
單調(diào)遞增.
其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是( )
A.①②B.①③C.②④D.①④
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,平面
底面
,其中底面
為等腰梯形,
,
,
,
,
為
的中點(diǎn).
(1)證明:平面
;
(2)求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)為
、
,
,若圓Q方程
,且圓心Q在橢圓上.
(1)求橢圓的方程;
(2)已知直線交橢圓
于A、B兩點(diǎn),過直線
上一動(dòng)點(diǎn)P作與
垂直的直線
交圓Q于C、D兩點(diǎn),M為弦CD中點(diǎn),
的面積是否為定值?若為定值,求出此定值;若不為定值,說明你的理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi),需了解年宣傳費(fèi)(單位:萬(wàn)元)對(duì)年銷售量
(單位:噸)和年利潤(rùn)
(單位:萬(wàn)元)的影響.對(duì)近六年的年宣傳費(fèi)
和年銷售量
(
)的數(shù)據(jù)作了初步統(tǒng)計(jì),得到如下數(shù)據(jù):
年份 | ||||||
年宣傳費(fèi) | ||||||
年銷售量 |
經(jīng)電腦模擬,發(fā)現(xiàn)年宣傳費(fèi)(萬(wàn)元)與年銷售量
(噸)之間近似滿足關(guān)系式
(
).對(duì)上述數(shù)據(jù)作了初步處理,得到相關(guān)的值如表:
(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù),求關(guān)于
的回歸方程;
(2)已知這種產(chǎn)品的年利潤(rùn)與
,
的關(guān)系為
若想在
年達(dá)到年利潤(rùn)最大,請(qǐng)預(yù)測(cè)
年的宣傳費(fèi)用是多少萬(wàn)元?
附:對(duì)于一組數(shù)據(jù),
,…,
,其回歸直線
中的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為
,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】[選修4—4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
在直角坐標(biāo)系中,曲線
的方程為
.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),
軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線
的極坐標(biāo)方程為
.
(1)求的直角坐標(biāo)方程;
(2)若與
有且僅有三個(gè)公共點(diǎn),求
的方程.
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