Question

某造船公司年造船量最多20艘，已知造船x艘的產值函數為R（x）=3700x+45x²-10x³（單位：萬元），成本函數為C（x）=460x+500（單位：萬元）．
（1）求利潤函數p（x）；（提示：利潤=產值-成本）
（2）問年造船量安排多少艘時，可使公司造船的年利潤最大？
（3）在經濟學中，定義函數f（x）的邊際函數Mf（x）=f（x+1）-f（x）．求邊際利潤函數Mp（x），并求Mp（x）單調遞減時x的取值范圍；試說明Mp（x）單調遞減在本題中的實際意義是什么？（參考公式：（a+b）³=a³+3a²b+3ab²+b³）

Answer 1

解：（1）根據利潤=產值-成本，可得p（x）=R（x）-C（x）=3700x+45x²-10x³-460x-500
=-10x³+45x²+3240x-500，（x∈N^*，1≤x≤20）（3分）
（2）求導函數，可得p′（x）=-30x²+90x+3240=-30（x-12）（x+9），（6分）
∴當0＜x＜12時，p′（x）＞0，當x＜12時，p′（x）＜0．
∴x=12時，p（x）有最大值．
即年造船量安排12 艘時，可使公司造船的年利潤最大．（8分）
（3）∵Mp（x）=p（x+1）-p（x）
=-10（x+1）³+45（x+1）²+3240（x+1）-500-（-10x³+45x²+3240x-500）
=-30x²+60x+3275=-30（x-1）²+3305，（x∈N^*，1≤x≤19）
所以，當x≥1時，Mp（x）單調遞減，x的取值范圍為[1，19]，且x∈N^*．（11分）
Mp（x）是減函數的實際意義：隨著產量的增加，每艘船的利潤在減少．（13分）
分析：（1）根據利潤=產值-成本，即p（x）=R（x）-C（x），可得函數關系式；
（2）求導函數，確定函數的單調性，從惹人確定函數的極值與最值；
（3）根據邊際函數的定義，寫出函數的關系式，配方結合函數的定義域，即可求解．
點評：本題考查函數模型的構建，考查導數知識的運用，考查利用數學知識解決實際問題，屬于中檔題．