Question

給出下列命題：①y=lg(sinx+

1+sin2x

)是奇函數(shù)；
②若α，β是第一象限角，且α＞β，則cosα＜cosβ；
③函數(shù)f（x）=2^x-x²在R上有3個(gè)零點(diǎn)；
④函數(shù)y=sin2x的圖象向左平移

π

4

個(gè)單位，得到函數(shù)y=sin(2x+

π

4

)的圖象．
其中正確命題的序號(hào)是

 

．（把正確命題的序號(hào)都填上）

Answer 1

分析：由奇函數(shù)的定義，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，可判斷①的正誤；根據(jù)第一象限的角，不一定在同一單調(diào)區(qū)間上，無(wú)法比較大小，可以得到②的真假；根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的求法，我們將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)基本函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷后，可以得到③的真假；根據(jù)圖象平移變換的法則，我們可以判斷④的真假，進(jìn)而得到答案．

解答：解：函數(shù)f（x）=lg(sinx+

1+sin2x

)的定義域?yàn)镽，
且f（-x）+f（x）=lg(sin(-x)+

1+sin2(-x)

)+lg(sinx+

1+sin2x

)=lg1=0，
即f（-x）=-f（x）
∴①y=lg(sinx+

1+sin2x

)是奇函數(shù)正確；
若α，β是第一象限角，且α＞β，但α，β不一定在同一單調(diào)區(qū)間上，則cosα＜cosβ不一定成立，故②錯(cuò)誤；
在同一平面坐標(biāo)系中畫(huà)出y=2^x與函數(shù)y=x²的圖象，易得兩函數(shù)的圖象共有3個(gè)交點(diǎn)，故③函數(shù)f（x）=2^x-x²在R上有3個(gè)零點(diǎn)正確；
函數(shù)y=sin2x的圖象向左平移

π

4

個(gè)單位，得到函數(shù)y=sin[2(x+

π

4

)]=sin(2x+

π

2

)的圖象，故④錯(cuò)誤．
故答案為：①③

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)奇偶性的判斷，函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷，函數(shù)的平移變換及函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，是對(duì)函數(shù)性質(zhì)及圖象的綜合考查，難度適中，其中②中易忽略α，β不一定在同一單調(diào)區(qū)間上，而根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性，而錯(cuò)判斷為正確．