Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，△PAD是邊長為2的等邊三角形，底面ABCD為直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AB=BC=1，E為CD中點．
（Ⅰ）求證：平面PAB⊥平面PAD；
（Ⅱ）求二面角P-AE-B的正弦值．

Answer 1

分析：（I）利用面面垂直的性質(zhì)定理和線面垂直的判定定理即可得出．
（II）通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用兩個平面的法向量的夾角公式即可得出．

解答：（Ⅰ）證明：∵面PAD⊥面ABCD，AB⊥AD，AB?平面ABCD，面PAD∩面ABCD=AD，
∴AB⊥面PAD，
又AB?面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD．
（Ⅱ）解：取AD中點O，連接PO，∵△PAD為正三角形，
∴PO⊥AD，由（Ⅰ）知AB⊥面PAD，PO?面PAD，
∴PO⊥面ABCD，建立空間直角坐標(biāo)系如圖2所示，
則O（0，0，0），P(0，0，

3

)，C（1，0，0），D（0，1，0），E(

1

2

，

1

2

，0)，
B（1，-1，0），A（0，-1，0）．
∴

AE

=(

1

2

，

3

2

，0)，

AP

=(0，1，

3

)．
設(shè)平面PAE的法向量為

n

=(x，y，z)，
則

n • AE = 1 2 x+ 3 2 y=0 n AP =y+ 3 z=0

，令z=

3

，則y=-3，x=9，∴

n

=(9，-3，

3

)．
取平面ABE的法向量為

m

=(0，0，1)．
∴cos＜

n

，

m

＞=

n • m

| n | | m |

=

31

31

．
∴sin＜

n

，

m

＞=

930

31

．
∴二面角P-AE-B的正弦值為

930

31

點評：熟練掌握面面垂直的性質(zhì)定理和線面垂直的判定定理、通過建立空間直角坐標(biāo)系并利用兩個平面的法向量的夾角公式求二面角等是解題的關(guān)鍵．