Question

某單位舉辦2010年上海世博會(huì)知識(shí)宣傳活動(dòng)，進(jìn)行現(xiàn)場(chǎng)抽獎(jiǎng)．盒中裝有9張大小相同的精美卡片，卡片上分別印有“世博會(huì)會(huì)徽”或“海寶”（世博會(huì)吉祥物）圖案；抽獎(jiǎng)規(guī)則是：參加者從盒中抽取卡片兩張，若抽到兩張都是“海寶”卡即可獲獎(jiǎng)，否則，均為不獲獎(jiǎng)．卡片用后放回盒子，下一位參加者繼續(xù)重復(fù)進(jìn)行．
（1）有三人參加抽獎(jiǎng)，要使至少一人獲獎(jiǎng)的概率不低于

7

8

，則“海寶”卡至少多少?gòu)垼?br />（2）現(xiàn)有甲乙丙丁四人依次抽獎(jiǎng)，用ξ表示獲獎(jiǎng)的人數(shù)，求ξ的分布列及Eξ的值．

Answer 1

分析：（1）至少一人獲獎(jiǎng)的對(duì)立事件是所有人都不獲獎(jiǎng)，根據(jù)對(duì)立事件公式列出不等式，解出n的范圍，本題用對(duì)立事件做要簡(jiǎn)單得多，這又符合正難則反的原則．
（2）由題意知ξ服從二項(xiàng)分布，甲乙丙丁四人抽獎(jiǎng)，用ξ表示獲獎(jiǎng)的人數(shù)由題意知ξ的所有可能取值是0、1、2、3、4，根據(jù)公式得到結(jié)果，寫出分布列，算出期望．

解答：解：（1）記至少一人獲獎(jiǎng)事件為A，則都不獲獎(jiǎng)的事件

.

A

，
設(shè)“海寶”卡n張，
則任一人獲獎(jiǎng)的概率

C 2 n

C 2 9

，
∴P(

.

A

)=(1-

C 2 n

C 2 9

)3，由題意：1-(1-

C 2 n

C 2 9

)3≥

7

8

，
∴n≥7．至少7張“海寶”卡，
（2）ξ～B(4，

1

6

)的分布列為P(ξ=k)=

C

k 4

(

1

6

)k(

5

6

)4-k(k=0，1，2，3，4)；

Eξ=4×

1

6

=

2

3

，Dξ=4×

1

6

×(1-

1

6

)=

5

9

．

點(diǎn)評(píng)：二項(xiàng)分布要滿足的條件：每次試驗(yàn)中，事件發(fā)生的概率是相同的，各次試驗(yàn)中的事件是相互獨(dú)立的，每次試驗(yàn)只要兩種結(jié)果，要么發(fā)生要么不發(fā)生，隨機(jī)變量是這n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中實(shí)件發(fā)生的次數(shù)．