【題目】某分公司經(jīng)銷(xiāo)某種品牌產(chǎn)品,每件產(chǎn)品的成本為30元,并且每件產(chǎn)品須向總公司繳納元(為常數(shù),)的管理費(fèi).根據(jù)多年的統(tǒng)計(jì)經(jīng)驗(yàn),預(yù)計(jì)當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為元時(shí),產(chǎn)品一年的銷(xiāo)售量為為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))萬(wàn)件.已知每件產(chǎn)品的售價(jià)為40元時(shí),該產(chǎn)品一年的銷(xiāo)售量為500萬(wàn)件.經(jīng)物價(jià)部門(mén)核定每件產(chǎn)品的售價(jià)最低不低于35元,最高不超過(guò)41元.
(Ⅰ)求分公司經(jīng)營(yíng)該產(chǎn)品一年的利潤(rùn)萬(wàn)元與每件產(chǎn)品的售價(jià)元的函數(shù)關(guān)系式;
(Ⅱ)當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為多少元時(shí),該產(chǎn)品一年的利潤(rùn)最大,并求的最大值.
【答案】(1) L(x)= 500(x-30-a)e40-x(35≤x≤41);(2) 當(dāng)2≤a≤4時(shí),每件產(chǎn)品的售價(jià)為35元,該產(chǎn)品一年的利潤(rùn)L(x)最大,最大為500(5-a)e5萬(wàn)元;當(dāng)4<a≤5時(shí),每件產(chǎn)品的售價(jià)為(31+a)元時(shí),該產(chǎn)品一年的利潤(rùn)L(x)最大,最大為500e9-a萬(wàn)元.
【解析】
試題分析:(1)先根據(jù)條件求出k,再根據(jù)利潤(rùn)等于銷(xiāo)售量乘以單個(gè)利潤(rùn)得函數(shù)解析式,最后交代定義域(2)先求導(dǎo)數(shù),再求導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn),根據(jù)零點(diǎn)與定義區(qū)間關(guān)系分類(lèi)討論,確定導(dǎo)函數(shù)符號(hào),進(jìn)而確定最大值
試題解析:(1)由題意,該產(chǎn)品一年的銷(xiāo)售量為y=.
將x=40,y=500代入,得k=500e40.
故該產(chǎn)品一年的銷(xiāo)售量y(萬(wàn)件)關(guān)于x(元)的函數(shù)關(guān)系式為y=500e40-x.
所以L(x)=(x-30-a)y=500(x-30-a)e40-x(35≤x≤41).
(2)由(1)得,L′(x)=500[e40-x-(x-30-a)e40-x]=500e40-x(31+a-x).
①當(dāng)2≤a≤4時(shí),L′(x)≤500e40-x(31+4-35)=0,
當(dāng)且僅當(dāng)a=4,x=35時(shí)取等號(hào).
所以L(x)在[35,41]上單調(diào)遞減.
因此,L(x)max=L(35)=500(5-a)e5.
②當(dāng)4<a≤5時(shí),L′(x)>035≤x<31+a,
L′(x)<031+a<x≤41.
所以L(x)在[35,31+a)上單調(diào)遞增,在[31+a,41]上單調(diào)遞減.
因此,L(x)max=L(31+a)=500e9-a.
綜上所述當(dāng)2≤a≤4時(shí),每件產(chǎn)品的售價(jià)為35元,該產(chǎn)品一年的利潤(rùn)L(x)最大,最大為500(5-a)e5萬(wàn)元;
當(dāng)4<a≤5時(shí),每件產(chǎn)品的售價(jià)為(31+a)元時(shí),該產(chǎn)品一年的利潤(rùn)L(x)最大,最大為500e9-a萬(wàn)元.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為 ,過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線(xiàn)交曲線(xiàn)于兩點(diǎn),交圓于兩點(diǎn)(兩點(diǎn)相鄰).
(Ⅰ)若,當(dāng)時(shí),求的取值范圍;
(Ⅱ)過(guò)兩點(diǎn)分別作曲線(xiàn)的切線(xiàn),兩切線(xiàn)交于點(diǎn),求與面積之積的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知直線(xiàn)l1:x-2y+3=0與直線(xiàn)l2:2x+3y-8=0的交點(diǎn)為M,
(1)求過(guò)點(diǎn)M且到點(diǎn)P(0,4)的距離為2的直線(xiàn)l的方程;
(2)求過(guò)點(diǎn)M且與直線(xiàn)l3:x+3y+1=0平行的直線(xiàn)l的方程.
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【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為,直線(xiàn):,直線(xiàn):.以極點(diǎn)為原點(diǎn),極軸為軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系.
(1)求直線(xiàn),的直角坐標(biāo)方程以及曲線(xiàn)的參數(shù)方程;
(2)已知直線(xiàn)與曲線(xiàn)交于,兩點(diǎn),直線(xiàn)與曲線(xiàn)交于,兩點(diǎn),求的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,曲線(xiàn)的參數(shù)方程為’(為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為.
(1)求和的直角坐標(biāo)方程;
(2)已知直線(xiàn)與軸交于點(diǎn),且與曲線(xiàn)交于,兩點(diǎn),求的值.
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【題目】設(shè)是異面直線(xiàn),則以下四個(gè)命題:①存在分別經(jīng)過(guò)直線(xiàn)和的兩個(gè)互相垂直的平面;②存在分別經(jīng)過(guò)直線(xiàn)和的兩個(gè)平行平面;③經(jīng)過(guò)直線(xiàn)有且只有一個(gè)平面垂直于直線(xiàn);④經(jīng)過(guò)直線(xiàn)有且只有一個(gè)平面平行于直線(xiàn),其中正確的個(gè)數(shù)有( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(2018·湖北襄陽(yáng)模擬)已知橢圓C: (a>b>0)的焦點(diǎn)為F1,F(xiàn)2,P是橢圓C上一點(diǎn),若PF1⊥PF2,|F1F2|=2,△PF1F2的面積為1.
(1)求橢圓C的方程;
(2)如果橢圓C上總存在關(guān)于直線(xiàn)y=x+m對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)A,B,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知四邊形是矩形,是坐標(biāo)原點(diǎn),、、、按逆時(shí)針排列,的坐標(biāo)是,.
(1)求點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)求所在直線(xiàn)的方程;
(3)求的外接圓方程.
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【題目】某倉(cāng)庫(kù)為了保持庫(kù)內(nèi)溫度,四周墻上裝有如圖所示的通風(fēng)設(shè)施,該設(shè)施的下部是等邊三角形ABC,其中AB=2米,上部是半圓,點(diǎn)E為AB的中點(diǎn).△EMN是通風(fēng)窗,(其余部分不通風(fēng))MN是可以沿設(shè)施的邊框上下滑動(dòng)且保持與AB平行的伸縮桿(MN和AB不重合).
(1)設(shè)MN與C之間的距離為x米,試將△EMN的面積S表示成的函數(shù);
(2)當(dāng)MN與C之間的距離為多少時(shí),△EMN面積最大?并求出最大值.
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