Question

已知函數(shù)f（x）為奇函數(shù)（定義域為R且x≠0），當x＞0時，f（x）=log₂x，則滿足不等式xf（x）＞0的x的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：首先令x＜0，則-x＞0，根據(jù)函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，求出f（x）的解析式；又f（0）=0，故f（x）在R上的解析式即可求出，然后分x＞0和x＜0兩種情況分別求出不等式xf（x）＞0的解集，最后求其并集即可．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），
當x＜0時，-x＞0時，f（-x）=log₂（-x）=-f（x），
即f（x）=-log₂（-x），
當x=0時，f（0）=0，
∴f（x）=

log2x，x＞0 0，x=0 -log2(-x)，x＜0

；
①當x＞0時，由xlog₂x＞0解得x＞1，
②當x＜0時，由-xlog₂（-x）＞0解得x＜-1，
綜上，得x＞1或x＜-1，
故x的取值范圍為x＞1或x＜-1．
故答案為：x＞1或x＜-1．

點評：本題主要考查了函數(shù)奇偶性質的運用，考查了分段函數(shù)解析式的求法，以及轉化思想和分類討論思想的運用，屬于中檔題．