Question

已知二次函數(shù)f（x）滿足f（x+1）-f（x）=2x且f（0）=1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）當x∈[-1，1]時，不等式：f（x）＞2x+m恒成立，求實數(shù)m的范圍．
（3）設g（t）=f（2t+a），t∈[-1，1]，求g（t）的最大值．

Answer 1

分析：（1）設出二次函數(shù)的一般形式后，代入f（x+1）-f（x）=2x，化簡后根據(jù)多項式相等，各系數(shù)相等即可求出a，b及c的值，即可確定出f（x）的解析式；
（2）不等式恒成立即為把不等式變?yōu)閤²-3x+1＞m，令g（x）等于x²-3x+1，求出g（x）在區(qū)間[-1，1]上的最大值，即可得到m的取值范圍，求最大值的方法是：把g（x）配方成二次函數(shù)的頂點形式，找出對稱軸，經(jīng)過判斷發(fā)現(xiàn)對稱軸在區(qū)間內，又二次函數(shù)的開口向上，所以得到g（x）的最大值為g（1），代入g（x）的解析式即可得到g（1）的值，讓m小于等于g（1）即可求出m的范圍；
（3）把x=2t+a代入f（x）的解析式中即可表示出g（t）的函數(shù)關系式，由二次函數(shù)求對稱軸的方法表示出g（t）的對稱軸，根據(jù)對稱軸大于等于0和小于0，分兩種情況考慮，分別畫出相應的函數(shù)圖象，根據(jù)函數(shù)的圖象即可分別得到g（t）的最大值，并求出相應t的范圍，聯(lián)立即可得到g（t）最大值與t的分段函數(shù)解析式．

解答：解：（1）令f（x）=ax²+bx+c（a≠0）代入f（x+1）-f（x）=2x，
得：a（x+1）²+b（x+1）+c-（ax²+bx+c）=2x，2ax+a+b=2x，
∴

a=1 b=-1 c=1

，
∴f（x）=x²-x+1；
（2）當x∈[-1，1]時，f（x）＞2x+m恒成立即：x²-3x+1＞m恒成立；
令g(x)=x2-3x+1=(x-

3

2

)2-

5

4

，
x∈[-1，1]，
則對稱軸：x=

3

2

∉[-1，1]，
則g（x）_min=g（1）=-1，
∴m＜-1；
（3）g（t）=f（2t+a）=4t²+（4a-2）t+a²-a+1，t∈[-1，1]
對稱軸為：t=

1-2a

4

，
①當

1-2a

4

≥0時，即：a≤

1

2

；如圖1：
g（t）_max=g（-1）=4-（4a-2）+a²-a+1=a²-5a+7
②當

1-2a

4

＜0時，即：a＞

1

2

；如圖2：
g（t）_max=g（1）=4+（4a-2）+a²-a+1=a²+3a+3，
綜上所述：g(t)max=

a2-5a+7 a2+3a+3

a≤ 1 2 a＞ 1 2

．

點評：此題考查學生會利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，掌握二次函數(shù)的圖象與性質及不等式恒成立時所滿足的條件，考查了分類討論的數(shù)學思想，是一道綜合題．