Question

13．如圖，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB與兩平面α，β所成的角分別為$\frac{π}{4}$和$\frac{π}{6}$，線段AB在α∩β=l上的射影為 A′B′，若AB=12，則A′B′=（　�。�

• A． 4
• B． 6
• C． 8
• D． 9

Answer 1

分析 連接AB′，BA′，由題設(shè)知∠B′AB=$\frac{π}{4}$，AA′⊥β，BB′⊥α，∠ABA′是AB與平面β所成的角，∠A′BA=$\frac{π}{6}$，由此能求出A′B′值．

解答 解：連接AB′，BA′，∵平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB與兩平面α，β所成的角分別為$\frac{π}{4}$和$\frac{π}{6}$，線段AB在α∩β=l上的射影為 A′B′，∴BB′⊥α，
∴∠B′AB是AB與平面β所成的角，∴∠B′AB=$\frac{π}{4}$，
AA′⊥β，∴∠ABA′是AB與平面β所成的角，
∴∠A′BA=$\frac{π}{6}$，AB=12，
在直角三角形B′AB中，BB′=ABcos$\frac{π}{4}$=6$\sqrt{2}$，
在直角三角形A′BA中，A′B=ABcos$\frac{π}{6}$=6$\sqrt{3}$，
在直角三角形A′BB′中，A′B′=$\sqrt{A{′B}^{2}-BB{′}^{2}}$=$\sqrt{（{6\sqrt{3}）}^{2}-（{6\sqrt{2}）}^{2}}$=6．
故選：B．

點評 本小題主要考查空間線面關(guān)系、幾何體的體積等知識，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力．