Question

已知直線l的參數(shù)方程為

x= 1 2 t y= 3 2 t+1

（t為參數(shù)），曲線C的參數(shù)方程為

x=2+cosθ y=sinθ

（θ為參數(shù)）
（Ⅰ）已知在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸）中，點(diǎn)P的極坐標(biāo)為（4，

π

3

）判斷點(diǎn)P與直線l的位置關(guān)系
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)Q是曲線C上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)Q到直線l的距離的最小值與最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：參數(shù)方程化成普通方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（Ⅰ）首先把直線的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)方程，把點(diǎn)的極坐標(biāo)轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)，進(jìn)一步判斷出點(diǎn)和直線的位置關(guān)系．
（Ⅱ）把圓的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)方程，利用圓心到直線的距離，進(jìn)一步求出圓上的動(dòng)點(diǎn)到直線距離的最值．

解答： 解：（Ⅰ）直線l的參數(shù)方程為

x= 1 2 t y= 3 2 t+1

（t為參數(shù)），轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)方程為：y=

3

x+1，
點(diǎn)P的極坐標(biāo)為（4，

π

3

），則點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為：(2，2

3

)
由于點(diǎn)p不滿足直線l的方程，
所以：點(diǎn)p不在直線上．
（Ⅱ）曲線C的參數(shù)方程為

x=2+cosθ y=sinθ

（θ為參數(shù)），轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)方程為：（x-2）²+y²=1
圓心坐標(biāo)為：（2，0），半徑為1．
所以：（2，0）到直線l的距離d=

|2 3 -1|

2

=

3

-

1

2

．
所以：動(dòng)點(diǎn)Q到直線l的最大距離：dmax=

3

-

1

2

+1=

3

+

1

2

．
動(dòng)點(diǎn)Q到直線l的最小距離：dmin=

3

-

1

2

-1=

3

-

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：直線的參數(shù)方程與直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化，圓的參數(shù)方程和直角坐標(biāo)方程的互化，極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化，點(diǎn)與直線的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離的應(yīng)用．屬于基礎(chǔ)題型．