Question

橢圓C₁：與拋物線C₂：x²=2py（p＞0）的一個交點為M．拋物線C₂在點M處的切線過橢圓C₁的右焦點F．
（1）若M，求C₁和C₂的標準方程；
（II）若b=1，求p關(guān)于a的函數(shù)表達式p=f（a）．

Answer 1

【答案】分析：（1）將點M代入C_{2，可求}C_{2的方程；利用}拋物線C₂在點M處的切線過橢圓C₁的右焦點F，求C₁的標準方程；
（2）是（1）的一般情形，先設M，再求出C₂在點M處的切線方程，從而構(gòu)建p關(guān)于a的函數(shù)表達式，注意a的取值范圍．
解答：解：（1）把M代入C₂：x²=2py（p＞0）得，故C₂：…（2分）
由得，從而C₂在點M處的切線方程為…（4分）
令y=0有x=1，F(xiàn)（1，0），…（5分）
又M在橢圓C₁上
所以，解得a²=5，b²=4，故C₁：…（7分）
（2）設M，由得，
從而C₂在點M處的切線方程為…（9分）
設F（c，0），代入上式得x=2c，
因為，所以…（11分）
又x²=2py，所以=，…（13分）
結(jié)合a＞b知，所以p=f（a）=（）．…（14分）
點評：函數(shù)與方程思想是研究已知量和未知量之間的等量關(guān)系，通過設未知數(shù)，建立各變量之間的固有函數(shù)關(guān)系，列出方程（或方程組等）綜合解決問題．