Question

15．已知二次函數(shù)f（x）對一切x∈R都有f（2-x）=f（x），f（-1）=0且f（x）≥一1．
（1）求該二次函數(shù)解析式；
（2）若直線1過（1）中拋物線的頂點和拋物線與x軸左側的交點，求直線l對應的函數(shù)關系式g（x）．

Answer 1

分析 （1）設二次函數(shù)解析式為：f（x）=ax²+bx+c，a≠0，根據(jù)已知構造方程組，解得a，b，c的值，可得f（x）的解析式；
（2）設直線1的解析式為：g（x）=kx+b，k≠0，根據(jù)直線1過（1）中拋物線的頂點和拋物線與x軸左側的交點，構造方程組，解得k，b的值，可得g（x）的解析式；

解答 解：（1）設二次函數(shù)解析式為：f（x）=ax²+bx+c，a≠0，
∵對一切x∈R都有f（2-x）=f（x），f（-1）=0且f（x）≥-1．
∴$\left\{\begin{array}{l}-\frac{2a}=1\\ a-b+c=0\\ a＞0\\ \frac{4ac-^{2}}{4a}=-1\end{array}\right.$，
解得：a=$\frac{1}{4}$，b=-$\frac{1}{2}$，c=-$\frac{3}{4}$，
∴f（x）=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{1}{2}$x-$\frac{3}{4}$
（2）由（1）得拋物線的頂點坐標為（1，-1），
拋物線與x軸左側的交點坐標為（-1，0），
設直線1的解析式為：g（x）=kx+b，k≠0，
∵直線1過（1）中拋物線的頂點和拋物線與x軸左側的交點，
∴$\left\{\begin{array}{l}k+b=-1\\-k+b=0\end{array}\right.$，
解得：k=b=-$\frac{1}{2}$，
故直線l對應的函數(shù)關系式g（x）=-$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質、一次函數(shù)的圖象與性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．