Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)棱AA₁⊥平面ABC，△ABC為正三角形，側(cè)面AA₁C₁C是正方形，E是A₁B的中點(diǎn)，F(xiàn)是棱CC₁上的點(diǎn)．
（Ⅰ）當(dāng)V_E-ABF=

3

3

時(shí)，求正方形AA₁C₁C的邊長；
（Ⅱ）當(dāng)A₁F+FB最小時(shí)，求證：AE⊥平面A₁FB．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的性質(zhì)

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：對(duì)于（Ⅰ）轉(zhuǎn)換三棱錐的底，V_E-ABF=V_F-ABE，根據(jù)條件公式求出棱柱的棱長
對(duì)于（Ⅱ），將側(cè)面BCC₁B₁沿棱CC'展開到與側(cè)面A₁ACC₁共面，得到矩形ABB₁A₁，再確定A₁F+FB最小時(shí)F點(diǎn)的位置

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)正方形AA₁C₁C的邊長為x，由于E是A₁B的中點(diǎn)，△EAB的面積為定值．
∵CC₁∥平面AA₁B，
∴點(diǎn)F到平面EAB的距離為定值，即為點(diǎn)C到平面平面AA₁B的距離
又V_E-ABF=V_F-ABE，且VF-ABE=

1

3

S△ABE•h=

3

3

即

1

3

•

1

2

•x•

x

2

•

3

2

x=

3

3

，
∴x³=8，x=2
（Ⅱ）解法一：將側(cè)面BCC₁B₁展開到側(cè)面A₁ACC₁得到矩形ABB₁A₁，連結(jié)A₁B，交C₁C于點(diǎn)F，此時(shí)點(diǎn)F使得A₁F+BF最�。�此時(shí)FC平行且等于A₁A的一半，
∴F為C₁C的中點(diǎn)．
取AB中點(diǎn)O，連接OE，EF，OC，
∴OEFC為平行四邊形，
∵△ABC為正三角形，
∴OC⊥AB，又AA₁⊥平面ABC，
∴OC⊥AA₁，且AB∩AA₁=A，
∴OC⊥平面A₁AB，
∵AE?平面A₁AB，
∴OC⊥AE，又EF∥OC，
∴AE⊥EF
由于E是A₁B的中點(diǎn)，所以AE⊥A₁B，又A₁B∩EF=E，
所以直線AE與平面A₁FB垂直

解法二：將側(cè)面BCC₁B₁展開到側(cè)面A₁ACC₁得到矩形ABB₁A₁，連結(jié)A₁B，交C₁C于點(diǎn)F，此時(shí)點(diǎn)F使得A₁F+BF最�。�此時(shí)FC平行且等于A₁A的一半，
∴F為C₁C的中點(diǎn)．
過點(diǎn)E作EG∥A₁F交BF于G，則G是BF的中點(diǎn)，EG=

1

2

A1F=

5

2

．
過點(diǎn)G作GH⊥BC，交BC于H，則GH=

1

2

FC=

1

2

．  
又AH=

3

，于是在Rt△AGH中，AG=

AH2+GH2

=

13

2

；
在Rt△ABA₁中，AE=

2

．
在△AEG中，AE²+GE²=AG²，
∴AE⊥EG，
∴AE⊥A₁F．
由于E是A₁B的中點(diǎn)，所以AE⊥A₁B，
又A₁B∩A₁F=E，
所以直線AE與平面A₁FB垂直

點(diǎn)評(píng)：本題考查了錐體 的體積，線段的長度以及線面垂直的判定與性質(zhì)屬于中高檔題