Question

已知函數(shù)f（x）=（a²+8）e^x，函數(shù)g（x）=（x²+ax-2a-3）e^3-x．
（1）若a=0，求g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若a＞0，且存在ξ₁，ξ₂∈[0，4]使得|f（ξ₁）-g（ξ₂）|_min＜3，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間,函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）先求導函數(shù)，利用導數(shù)和單調(diào)性的關(guān)系即可求出函數(shù)單調(diào)增區(qū)間；
（2）分別求出f_min（x）與g_max（x），再將問題等價轉(zhuǎn)化為：若存在ξ₁，ξ₂∈[0，4]使得|f（ξ₁）-g（ξ₂）|＜3，只要f_min（x）-g_max（x）＜3即可，從而解不等式，即可求出a的取值范圍．

解答： 解：（1）若a=0，則g（x）=（x²-3）e^3-x．
則g'（x）=2xe^3-x-（x²-3）e^3-x=（-x²+2x+3）e^3-x．
由g'（x）=（-x²+2x+3）e^3-x≥0，
得-x²+2x+3≥0，解得-1≤x≤3，
即g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[-1，3]；
（2）g'（x）=-[x²+（a-2）x-3a-3]e^3-x=-（x-3）（x+a+1）e^3-x
∵a＞0，∴-（a+1）＜0
∴當x∈[0，3]時g（x）單調(diào)遞增，
當x∈[3，4]時，g（x）單調(diào)遞減，
∴當x∈[0，4]時，g_max（x）=g（3）=a+6，
∵f（x）=（a²+8）e^x在x∈[0，4]時是增函數(shù)，f_min（x）=f（0）=a²+8，
又∵a²+8-（a+6）=a²-a+2=（a-

1

2

） 2+

7

4

＞0，
∴f_min（x）＞g_max（x），
∴當x∈[0，4]時，f（x）＞g（x）恒成立．
∴若存在ξ₁，ξ₂∈[0，4]使得|f（ξ₁）-g（ξ₂）|＜3
只要f_min（x）-g_max（x）＜3即可，
即a²+8-（a+6）＜3，
∴a²-a-1＜0，
解

1- 5

2

＜a＜

1+ 5

2

，
∵a＞0，
∴0＜a＜

1+ 5

2

，
即a的取值范圍為：0＜a＜

1+ 5

2

．

點評：本題主要考查了利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，以及利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，同時考查了分類討論的數(shù)學思想，綜合性較強，運算量較大．