Question

已知1≤x≤10且xy²=100，求（lgx）²+（lgy）²的最大值和最小值，并求取得最大值和最小值時相應(yīng)的x，y的值．

Answer 1

分析：由題意，要求（lgx）²+（lgy）²的最大值和最小值，可先處理條件xy²=100，兩邊取常用對數(shù)，得到lgx+2lgy=2，由于得到lgy=1-

1

2

lgx，將其代入到f（x）=（lgx）²+（lgy）²中即可得到（lgx）²+（lgy）²關(guān)于lgx的一元二次函數(shù)，令lgx=t，換元后由二次函數(shù)的性質(zhì)求最值，及相應(yīng)的x，y的值

解答：解：xy²=100 兩邊取對數(shù)得到：lg（xy²）=lg100=2 lgx+2lgy=2 所以：lgy=1-

1

2

lgx．f（x）=（lgx）²+（lgy）²=（lgx）²+[1-

1

2

lgx]²=

5

4

（lgx）²-lgx+1 設(shè)lgx=t，則有0≤t≤1，f（x）=

5

4

t²-t+1 對稱軸t=

2

5

，在區(qū)間[0，1]范圍內(nèi)，所以：f（x）在t=

2

5

處取得最小值，此時x=10

2

5

，y=10

4

5

； f（x）在t=1處取得最大值，此時x=10，y=10

1

2

．

點評：本題考點是對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合運用，考查了對數(shù)的運算性質(zhì)，換元法，二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是由題設(shè)條件結(jié)合換元的技巧構(gòu)造出二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值，本題的難點是構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)求最值，本題易因為換元后忘記求新元的取值范圍而出錯．