Question

設(shè)a＞0，b＞0，已知函數(shù)f（x）=

ax+b

x+1

．
（Ⅰ）當(dāng)a≠b時(shí)，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）當(dāng)x＞0時(shí)，稱(chēng)f（x）為a、b關(guān)于x的加權(quán)平均數(shù)．
（i）判斷f（1），f（

b a

），f（

b

a

）是否成等比數(shù)列，并證明f（

b

a

）≤f（

b a

）；
（ii）a、b的幾何平均數(shù)記為G．稱(chēng)

2ab

a+b

為a、b的調(diào)和平均數(shù)，記為H．若H≤f（x）≤G，求x的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠-1}，f′(x)=

a-b

(x+1)2

∴當(dāng)a＞b＞0時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在（-∞，-1），（-1，+∞）上單調(diào)遞增；
當(dāng)0＜a＜b時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）在（-∞，-1），（-1，+∞）上單調(diào)遞減．
（Ⅱ）（i）計(jì)算得f（1）=

a+b

2

，f（

b a

）=

ab

，f（

b

a

）=

2ab

a+b

．
∵(

ab

)2=

a+b

2

×

2ab

a+b

∴f（1），f（

b a

），f（

b

a

）成等比數(shù)列，
∵a＞0，b＞0，∴

2ab

a+b

≤

ab

∴f（

b

a

）≤f（

b a

）；
（ii）由（i）知f（

b

a

）=

2ab

a+b

，f（1）=

a+b

2

．
故由H≤f（x）≤G，得f（

b

a

）≤f（x）≤f（1）．
當(dāng)a＞b＞0時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．這時(shí)

b

a

≤x≤1，即x的取值范圍為

b

a

≤x≤1；
當(dāng)0＜a＜b時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
∴x的取值范圍為1≤x≤

b

a

．