Question

已知函數(shù)f（x）=log_a（x+1），g（x）=log_a（1-x）（a＞0，且a≠1），且h（x）=f（x）+g（x）．
（1）求函數(shù)h（x）的定義域； 
（2）判斷函數(shù)h（x）的奇偶性，并說明理由；  
（3）求不等式f（x）＞g（x）的解集．

Answer 1

【答案】分析：（1）要求函數(shù)f（x）+g（x）的定義域，我們可根據(jù)讓函數(shù)解析式有意義的原則，構造不等式組，解不等式組即可得到函數(shù)f（x）+g（x）的定義域；
（2）要判斷h（x）=f（x）+g（x）的奇偶性，我們根據(jù)奇偶性的定義，先判斷其定義域是否關于原點對稱，然后再判斷f（-x）+g（-x）與f（x）+g（x）的關系，結合奇偶性的定義進行判斷；
（3）若f（x）＞g（x），則我們可以得到一個對數(shù)不等式，然后分類討論底數(shù)取值，即可得到不等式的解．
解答：解：（1）f（x）+g（x）=log_a（x+1）+log_a（1-x）．
若要上式有意義，則，
即-1＜x＜1．
所以所求定義域為{x|-1＜x＜1}
（2）由于h（x）=f（x）+g（x），
則h（-x）=f（-x）+g（-x）
=log_a（-x+1）+log_a（1+x）=h（x）．
所以h（x）=f（x）+g（x）是偶函數(shù)．
（3）f（x）＞g（x），
即log_a（x+1）＞log_a（1-x）．
當0＜a＜1時，上述不等式等價于
解得-1＜x＜0．
當a＞1時，原不等式等價于，
解得0＜x＜1．
綜上所述，當0＜a＜1時，原不等式的解集為{x|-1＜x＜0}；
當a＞1時，原不等式的解集為{x|0＜x＜1}．
點評：本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應用、函數(shù)奇偶性、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎題．