Question

(本題滿(mǎn)分14分)已知橢圓的離心率為，點(diǎn)P(1，)在該橢圓上．

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若直線(xiàn)與圓O:相切，并橢圓交于不同的兩點(diǎn)A、B，求

△AOB面積S的最大值．

Answer 1

（1）橢圓方程為．（2）△AOB面積S的最大值．

【解析】

試題分析：（1）由離心率為，得： ；由點(diǎn)P(1，)在橢圓上得：

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015070406030055145579/SYS201507040603058641876854_DA/SYS201507040603058641876854_DA.007.png"> ，解方程組可確定 的值，從而得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）所以設(shè)直線(xiàn)的方程為()，利用直線(xiàn)與圓相切的條件確定的關(guān)系；點(diǎn)A、B的坐標(biāo)(，)、(，)，則滿(mǎn)足方程組

利用韋達(dá)定理將△AOB面積S表示為的函數(shù)，再利用函數(shù)或不等式的方法求面積的最大值.

試題解析：【解析】
(1)∵橢圓的離心率，∴，又∵

，∴，故橢圓方程可寫(xiě)為，又∵點(diǎn)P(1，)在該橢圓上，∴，故所求橢圓方程為． 5分

(2)依題結(jié)合圖形知的斜率不可能為零，所以設(shè)直線(xiàn)的方程為()．∵直線(xiàn)即與圓O:相切，∴有：

得．又∵點(diǎn)A、B的坐標(biāo)(，)、(，)滿(mǎn)足：

，消去整理得，

其判別式，

又由求根公式有．

．

∵，∴，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．∴所求△AOB面積S的最大值． 14分

考點(diǎn)：1、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)；2、直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系的綜合問(wèn)題.