Question

設an=logn+1(n+2)，(n∈N*)，定義使a₁a₂a₃…a_k為整數(shù)的數(shù)k（k∈N^*）叫做數(shù)列{a_n}的企盼數(shù)，則區(qū)間[1，2009]內的所有企盼數(shù)的和為

2026

．

Answer 1

分析：先利用換底公式與疊乘法把a₁•a₂•a₃…a_k化為log₂（k+2），再根據(jù)a₁•a₂•a₃…a_k為整數(shù)，可得k=2ⁿ-2，進而由等比數(shù)列前n項和公式可得結論．

解答：解：∵a_n=log_n+1（n+2）=

log2(n+2)

log2(n+1)

∴a₁•a₂•a₃…a_k=

log23

log22

×

log24

log23

…×

log2(k+2)

log2(k+1)

=log₂（k+2），
又∵a₁•a₂•a₃…a_k為整數(shù)
∴k+2必須是2的n次冪（n∈N^*），即k=2ⁿ-2．
∴k∈[1，2009]內所有的企盼數(shù)的和M=（2²-2）+（2³-2）+（2⁴-2）+…+（2¹⁰-2）=

4(1-29)

1-2

-2×9=2026
故答案為：2026．

點評：本題考查新定義，考查換底公式、疊乘法及等比數(shù)列前n項和公式，考查學生的計算能力，屬于中檔題．