Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|．
（1）解不等式f（x）＞3；
（2）若x0∈R，使得f（x0）+2m2＜4m，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)x＜﹣2時(shí)，f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|=1﹣2x+x+2=﹣x+3，f（x）＞3，即﹣x+3＞3，解得x＜0，

又x＜﹣2，∴x＜﹣2；

當(dāng) 時(shí)，f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|=1﹣2x﹣x﹣2=﹣3x﹣1，f（x）＞3，即﹣3x﹣1＞3，解得 ，又 ，∴ ；

當(dāng) 時(shí)，f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|=2x﹣1﹣x﹣2=x﹣3，f（x）＞3，即x﹣3＞3，解得x＞6，又 ，∴x＞6．

綜上，不等式f（x）＞3的解集為 ．

（2）解：f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|= ，

∴ ．

∵x0∈R，使得 ，

∴ ，

整理得4m2﹣8m﹣5＜0，

解得 ．

因此實(shí)數(shù)m的取值范圍是

【解析】（1）利用零點(diǎn)分區(qū)間討論去掉絕對(duì)值符號(hào)，化為分段函數(shù)，在每一個(gè)前提下去解不等式，每一步的解都要和前提條件找交集得出每一步的解，最后把每一步最后結(jié)果找并集得出不等式的解；（2）根據(jù)第一步所化出的分段函數(shù)求出函數(shù)f（x）的最小值，若x0∈R，使得f（x0）+2m2＜4m成立，只需4m﹣2m2＞fmin（x），解出實(shí)數(shù)m的取值范圍．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了絕對(duì)值不等式的解法的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握含絕對(duì)值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規(guī)律：關(guān)鍵是去掉絕對(duì)值的符號(hào)才能正確解答此題．